文档介绍：利用导数判断函数的单调性 (2)
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（4）.对数函数的导数:
（5）.指数函数的导数:
（3）.三角函数 ：
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xnb)为f(x)的单调减区间；
若在某个区间内恒有 则 为常数
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例1．如图，设有圆C和定点O，当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？
D
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解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，
图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；
图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；
图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；
图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。
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例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f ’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.
令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0，
f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0，
f(x)是减函数.
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例3:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 或
时, f(x)是增函数.
令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 时, f(x)是减函数.
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故f(x)在(-∞,1)和
(3,+∞)内是增函数,
在(1,3)内是减函数.
1
0
3
3
1
y
x
而我们可以从右边的
函数的图象看到上面的结论是正确的.
（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:
(1):求导数
(2)解不等式 >0 得f(x)的单调递增区间;
解不等式 < 0得f(x)的单调递减区间.
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例4．证明函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
证明：∵f ’(x)=( )’=(－1)·x－2=－ ，
∵ x>0，∴x2>0，
∴－ ＜0. 即f ’(x)＜0，
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
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例5．求函数y=x2(1－x)3的单调区间.
解：y’=[x2(1－x)3]’
=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
=x(1－x)2[2(1－x)－3x]
=x(1－x)2·(2－5x)
令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜ .
∴ y=x2(1－x)3的单调增区间是(0， )
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令x(1－x)2(2－5x)＜0，
解得x＜0或x＞ 且x≠1.
∵ x=1为拐点，
∴ y=x2(1－x)3的单调减区间是
(－∞，0)，( ，+∞)
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练****题
1．函数y=3x－x3的单调增区间是( )
(A) (0，+∞) (B) (－∞，－1)
(C) (－1，1) (D) (1，+∞)
C
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2．设f(x)=x＋ (x<0)，则f(x)的单调增区间是( )
(A) (－∞，－2)
(B) (－2，0)
(C) (－∞，－ )
(D) (－ ，0)
C
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3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( )
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, )上是减函数，在( , 1)上是增函数
(D) 在( , 1)上是减函数，在(0, )上是增函数
C
本讲稿第十