文档介绍：第一讲 函数定义域和值域
★★★ 高考在考什么
【考题回放】
1．函数 f ( x) ＝ 1 2 x
的定义域是
（ A
）
A． ( －∞， 0]
B． [0 ，＋∞ b 为常数）的图象经过点（
2， 1），求 F( x)=[f
－ 1( x)] 2－ f － 1( x2) 的
值域。
分析提示： 求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注
意 F( x) 的定义域与 f － 1( x) 定义域的联系与区别。
解：由图象经过点（
2， 1）得， b
2 ，
f
1 (x) 2
log 3 x
(1
x 9)
F( x)=[f
－ 1( x)]
2－ f － 1( x2)
1
x
9
F ( x) 的定义域为
[1,3]
1
x2
9
F
(
) ( 2
log
3
x
)2
(2 log
3 x
2 )
(log
3
x
)2
2 log
3 x
2
(log
3
x
1) 2
1
x
x
[1,3] ，
log 3 x
[ 0,1] ，
F ( x) 的值域是 [ 2,5]
易错点： 把 f 1 ( x) 的定义域当做 F ( x) 的定义域。
变式： 函数 y
f ( x) 的定义域为 x
[ 1,1] ，图象如图所示，
其反函数为 y
f
1 ( x). 则不等式 [ f ( x)
1
][ f 1 ( x)
1
] 0
( 3
2
2
的解集为
,1]
.
4
- 2 -
【范例 2】设函数 f ( x) tx 2 2t 2 x t 1(x R ， t 0) ．
（Ⅰ）求 f (x) 的最小值 h(t ) ；
（Ⅱ）若 h(t)
2t
m 对 t
(0，2)
恒成立，求实数
m 的取值范围．
解：（Ⅰ） Q f (x)
t ( x
t) 2
t 3
t
1(x R ， t
0) ，
当 x
t 时， f ( x) 取最小值
f (
t)
t3
t
1
，
即 h(t )
t 3
t
1．
（Ⅱ）令 g (t )
h(t)
(
2t
m)
t3
3t
1
m ，
由 g (t)
3t 2
3
0 得 t
1， t
1（不合题意，舍去） ．
当 t 变化时 g (t) ， g (t ) 的变化情况如下表：