文档介绍：汽车结构有限元分析有限元基础理论
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讲述以下问题------
---材料力学研究对象与研究方法
、刚度问题、稳定性问题
---空间问题 z=(x+y)
平面问题的协调方程
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平面应力特点
（1）应力
在z = 的面上各点没有任何应力 z=zx =zy =0
在面内： x、y、xy 0
（2）应变
xz=yz=0
（3) 位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w 0
平面问题平衡微分方程
平面问题几何方程
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10. 有限元方法 概念
平面问题的有限元法
用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于求解偏微分方程的复杂性，而有限元方法则将原来连续的弹性体离散化，其中最简单的就是采用三角形单元对弹性体进行划分。
把整个求解区域分成许多个有限小区域，这些小区域称之为单元。
在每个单元上构造近似位移函数，即进行所谓的分片插值。
在每一个单元上求势能。
将所有单元上的势能加起来得弹性体的总势能。
最后应用最小势能原理求解单元节点位移。
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对每个三角形单元选择最简单的线性函数为位移模式，单元中任一点的位移可以通过3个结点的位移进行插值运算，这样整个区域中无限多个未知位移量就可以用有限个节点来表示，从而避免了求解覆盖整个区域的位移函数的困难。平面问题的有限元法，不仅可用来解决实际问题，而且通过其相对简单的概念，可以详细了解用有限元法对一般弹性体进行应力分析的基本原理和方法步骤，了解有限元法的性能特点，使用中应注意的问题，从而为学****后续各章节打下基础。
下面就以平面三角形单元阐明有限元的基本概念
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单元位移模式
每个节点在单元平面内有两个位移分量，相应有两个自由度：
一个三角形单元有三个节点，共6个节点位移分量，其单元节点位移列阵可表示为：
位移模式可取为最简单的线性函数，包含6个待定常数 、… 。
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一种简单的线性位移函数为：
式中 、…、 为6个待定常数，可以由单元的节点位移确定。
设节点 的坐标分别为( ， )、（ ， ）、（ ， ），其节点位移为，
，将它们代入上式得：
联立求解上述公式左边的6个方程，可以求出待定常数:
整理后得 ：
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单元形函数
函数 表示单元内部的位移分布形态，故 可称为单元的形态函数，简称为形函数。
得到由节点位移表达单元内任一点位移的插值公式，即位移模式的另一形式。
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单元应变和应力
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单元平衡方程
整个结构处于平衡状态，所划分出的一个小单元体同样处于平衡状态，而结构的平衡条件可通过节点的平衡条件表示。有限元的任务就是要建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间关系的平衡方程。为此首先要建立每一个单元的节点位移和节点力之间关系的平衡方程。单元平衡方程可以利用最小势能原理建立，也可以利用虚功原理求解。
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单元节点力列阵 ： 单元节点虚位移列阵： 单元内部引起的虚应变 ：
根据虚功原理：外力虚功等于内力虚功。所以节点力在节点的虚位移上所作的虚功应等于单元内部应力在虚应变上所作的虚功。这就是单元保持平衡状态所必须满足的条件，即单元的平衡条件。
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单元刚度矩阵
利用虚功方程来建立刚度方程，其实质就是单元的平衡方程。
单元刚度矩阵具有以下性质：
(1) 单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义。其物理意义是单位节点位移分量所引起的节点力。例如， 是表示当单元第n个自由度产生单位位移而其它自由度固定时，在第m个自由度产生的节点力。
是对称矩阵。其元素之间有如下关系： ，这个特性是由弹性力学中功的互等定理所决定的。
（3） 是奇异矩阵。其每一行每一列元素之和均为零，物理意义就是：在无约束的条件下，单元可作刚体