构造组合模型巧证组合恒等式.doc

文档介绍：机关组合(zǔhé)模子巧证组合恒等式
　　机关组合模子巧证组合恒等式 证实组合恒等式，一般是独霸组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，经由过程一些适当的计较或化简来完成．可是，良多组合恒等式，也可直接独霸组合数的意义来证实．即机关一个机关组合(zǔhé)模子巧证组合恒等式
　　机关组合模子巧证组合恒等式 证实组合恒等式，一般是独霸组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，经由过程一些适当的计较或化简来完成．可是，良多组合恒等式，也可直接独霸组合数的意义来证实．即机关一个组合问题的模子，把等式双方当作统一组问题的两种计较编制，由解的独一性，即可证实组合恒等式．
例１证实Ｃｎｍ＝Ｃｎｍ－１＋Ｃｎ－１ｍ－１．
阐发：原式左端为ｍ个元素中取ｎ个的组合数．原式右端可当作是统一问题的另一种算法：把知足前提的组合分为两类，一类为不取某个元素ａ１，有Ｃｎｍ－１种取法．一类为必取ａ１有Ｃｎ－１ｍ－１种取法．由加法事理可知原式成立．
例２证实Ｃｎｍ·Ｃｐｎ＝Ｃｐｍ·Ｃｎ－ｐｍ－ｐ．
阐发：原式左端可当作一个班有ｍ小我，从中选出ｎ小我清扫卫生，在选出的ｎ小我中，ｐ人清扫教室，余下的ｎ－ｐ人清扫情况卫生的选法数．原式右端可当作直接在ｍ人中选出ｐ人清扫教室，在余下的ｍ－ｐ人中再选出ｎ－ｐ人清扫情况卫生．显然，两种算法计较的是统一个问题，成效当然是一致的．
以上两例当然简单，但它提醒了用组合数的意义证实组合恒等式的一般思绪：先由恒等式中意义比拟较着的一边机关一个(yī ɡè)组合问题的模子，再按照加法事理或乘法事理对另一边进展阐发．假设是几个数〔组合数〕相加的形式，可以把机关的组合问题进展适当分类，如例１，假设是几个数〔组合数〕相乘的形式，那么应进展适当的分步计较，如例２，当然，良多情况下是两者连络独霸的．
例３证实Ｃｋｍ＋ｎ＝Ｃ０ｍＣｋｎ＋Ｃ１ｍＣｋ－１ｎ＋Ｃ２ｍＣｋ－２ｎ＋…＋ＣｋｍＣ０ｎ，此中当ｐ＞ｑ时Ｃｐｑ＝０．
证实：原式左边为ｍ＋ｎ个元素中选ｋ个元素的组合数．今将这ｍ＋ｎ个元素分成两组，第一组为ｍ个元素，剩下的ｎ个元素为第二组，把掏出的ｋ个元素，按在第一组掏出的元素个数ｉ〔ｉ＝０，１，２，…，ｋ〕进展分类，这一类的取法数为ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．于是，在ｍ＋ｎ个元素中取ｋ个元素的取法数又可写成?ｋｉ＝０ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．故原式成立．
例４证实
Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｍ＝Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．
证实：原式右边为ｍ＋ｎ＋１个元素中取ｎ＋１个，元素的组合数，不失落落一般性，可以认为是在１，２，３，…，ｍ＋ｎ，ｍ＋ｎ＋１，共ｍ＋ｎ＋１个数中取ｎ＋１个数．将掏出的ｎ＋１个数ａ１，ａ２…，ａｎ＋１由小到除夜枚举，即设ａ１＜ａ２＜ａｎ＋１，按掏出的最除夜数ａｎ＋１＝ｋ＋１分类，显然ｋ＝ｎ，ｎ＋１，…，ｎ＋ｍ．当ｋ＝ｎ＋ｉ时〔ｉ＝０，１，２，…，ｍ〕，这一类取法数为Ｃｎｎ＋ｉ，所以取法总数又等于?ｍｉ＝０Ｃｎｎ＋ｉ．原式成立．
对于某些组合恒等式，有时其摆布双方所暗示的意义都不易看出，可是假设按照组合数的特点细心阐发(chǎnfā)，或对原式进展一些适当的变形，往往可以巧妙地机关一个组合问题做为模子，证实就可化难为易．
例５证实Ｃ１ｎ＋２Ｃ２ｎ＋３Ｃ３ｎ＋…＋ｎＣｎｎ＝ｎ２ｎ－１．
阐发：注重，原式左端等价于Ｃ１１Ｃ１ｎ＋Ｃ１２Ｃ２ｎ＋