文档介绍：第七章 数学中的公理化方法
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§1 公理化方法概述
数学公理化方法，是数学发展到一定阶段的产物．它在近代数学发展中曾起过巨大的作用，而且对于现代数学的发展也有着极其深刻的影响．即使在数学教学中，公理了公理化方法的信誉，接着便有许多数学家致力于公理化方法的研究。如德国数学家康托尔与戴德金不约而同地拟成了连续性公理、德国数学家巴许拟成了顺序公理。在这个基础上，希尔伯特于1899年发表了《几何学基础》一书，改造了欧氏几何系统，完善了几何学的公理化方法。
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3．形式化阶段——集合悖论出现后，希尔伯特在其形式化研究方法，特别是元数学（证明论）中，将公理化方法推向的一个新阶段。
在欧氏《几何原本》的公理系统中，概念直接反映着数学实体的性质，而且那些概念、定义、公理的表述以及定理的论证往往受到直觉观的束缚。因而，欧氏公理系统的公理化可称为“实体公理化”。
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然而在希氏《几何学基础》中，
不仅在公理的表述或定理的论证上已摆脱了空间观念的直觉成分，而且还为几何对象及其关系进行更高一级的抽象提供了基础。
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于是，
只要满足公理系统中各个公理的要求，那么所涉及的对象就可以是任何事物，并且在公理中表述事物或对象间的关系时，其具体意义也可以是任意的。所以，在《几何学基础》问世以后，公理化方法不仅进入了数学的其他各个分支，而且它本身也被推向了形式化的阶段。
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后来希尔伯特将将某种数学理论（如自然数理论、几何理论等）作为一个整体加以研究，提出了希尔伯特规则，即：证明古典数学的每个分支都可以公理化；证明每个这样的系统都是完备的； 证明每个这样的系统都是相容的；证明每个这样的系统所相应的模型都是同构的；寻找一种可以在有限步骤内判定任一命题的可证明性的方法。希尔伯特为具体实施这个规划而创立了证明论即元数学理论。
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希尔伯特对元数学的研究，使公理化方法进一步精确化：
把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑规则排成演绎的体系，并使用数学符号和逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全部数学命题便变成了公式的集合，公理化的数学理论便变成了演绎的形式系统。元数学思想的提出，标志着数学的研究达到了新的、更高的水平，数学的研究对象已不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数学结构。从而，公理化被推向一个新阶段即纯形式化阶段。
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三、公理化方法的作用
数学公理化方法在整理数学知识，促使新理论的创立，以及对整个科学理论的表述都有着重要的作用。
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1．公理化方法是整理分析、加工总结数学经验资料，建立科学理论体系的基本工具。
利用公理化方法，可以把零散的数学知识，用逻辑的链条串连起来，使之形成完整的有机整体。这样，不但能使人们容易掌握，而且也便于应用。
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2．公理化方法有利于比较数学各个分支的实质性异同，促进数学探索与基础研究，推动数学新理论的产生。
从前面所述，可以看出，非欧几何就是在研究和使用公理化方法的过程中产生的。
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3．数学公理化方法在科学方法论上，对各门自然科学起着示范作用。
由于数学公理化方法表述数学理论的简洁性、条理性和结构的和谐性，为其他科学理论的表述起到了示范作用。于是其他科学纷纷效仿数学公理化的模式，出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化、相对论公理化及伦理学公理化等等。
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诚然，公理化方法具有重大作用，但也不能将它绝对化，必须辩证地看到它的不足之处。
公理化方法如果不与实验方法相结合，则可能陷入错误；如果不与认识论的科学方法相结合，则也不会更好地发现问题；公理系统的相容性、独立性和完备性的要求，不仅在理论上难以全部满足，而且对于一些新兴的数学分支或与生产实际关系密切的科学的发展，反而是一种障碍。而且，用公理化方法建立起来的理论体系，最终还需受实践的检验，以判定其真伪。
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§2 欧几里得几何公理系统简介
欧几里得的《几何原本》是公理化方法的雏形。它的主要内容包括以下几个方面。
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一、23条定义
（1）点是没有部分的。
（2）线是有长度而没有宽度的。
（3）线的界是点。
（4）直线是这样的线，它对于它的任何点 来说，都是同样的放置着的。
（5）面是只有长度和宽度的。
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（6）面的界是线。
（7）平面是这样的面，它对于它的任何直线来说，都是同样的放置着的。
接着15条是关于角、平角、直角和垂线、钝角、锐角；