文档介绍：一、选择题(1
年 考 研 数 学
8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中,
(1)设函数
(A)0
(C)2
【答案】B。
【解析】
且
综上所述，本题正确答案是
只有一个选项是符合题目要求的。)
，量，，
则的非零特征值为。
【答案】1。
【解析】
【方法一】
定义法：由，
可得矩阵 的特征值为，因此 的非零特征值为。
【方法二】
矩阵相似：
可知，的特征值易得为，所以可得矩阵的特征值为
因此 的非零特征值为。
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】线性代数一矩阵的特征值和特征向量一矩阵的特征值和特征向量的
概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质
(14)设随机变量 服从参数为1的泊松分布，则。
【答案】一
【解析】由已知，有，所以
所以一
综上所述，本题正确答案是 一。
【考点】概率论与数理统计一随机变量的数字特征一一维随机变量及函数的
数字特征
三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
(15)(本题满分9分)
求极限
【解析】
【方法一】
（等价无穷小代换）
（洛必达法则）
（ ）
:—（等价无穷小代换）
【方法二】
（等价无穷小代换）
——（变量代换）
（洛必达法则）
——（等价无穷小代换）
【方法三】
由泰勒公式一 ，可得
则，上式
【方法四】
（拉格朗日中值定理）
【方法五】
由于当时，-,则
所以
【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较,
极限的四则运算
高等数学一一元函数微分学一微分中值定理，洛必达 (L'Hospital) 法则
(16)(本题满分9分)
计算曲线积分，其中 是曲线 上从点
到点 的一段。
【解析】
【方法一】
【方法二】
添加轴上从点
到点 的直线段
为与围成的封闭区域，则
【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的概念、性质、
计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林 (Green)公式
(17)(本题满分11分)
已知曲线求曲线距面最远和最近的点。
【解析】
设 为曲线 上任意一点，则点 到面的距离为，即原题化为
求 在条件下的最值点，构造拉格朗日函
数
解方程组
得 ，从而
得可能极值点：
有
根据几何意义，曲线 上存在距面最远和最近的点，故所求点依次为
O
【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的极值和条件极值
(18)(本题满分10分)
设函数 连续，
(I)利用定义证明函数可导，且；
(II)当 是以2为周期的周期函数时，证明函数
也是以2为周期的周期函数。
【解析】
⑴ 对于任意的，由于函数连续，所以
（积分中值定理）
其中介于和 之间。
又，可知可导，且
（II）【方法一】
对于任意的，有
所以，
从而有（常数）
又
则，，即也是以2为周期的周期函数。
【方法二】
对于任意的，有
则
故 也是以 2 为周期的周期函数。
【方法三】
对于任意的 ，有
由于 以 2 为周期，则
所以
故 也是以 2 为周期的周期函数。
【方法四】
对于任意的 ，有
故 也是以 2 为周期的周期函数。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和
奇偶性
高等数学一一元函数积分学一积分上限的函数及其导数
(19)(本题满分11分)
将函数展开成余弦级数，并求 的和
【解析】
因为是偶函数，于是，对 有
所以 一一
令 ,―
故
【考点】高等数学一无穷级数一函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数,
函数在上的正弦级数和余弦级数
(20)(本题满分10分)
设 为3维列向量，矩阵，其中 分别是
的转置。证明：
(I)秩；
(II)若线性相关，则秩。
都是3阶矩阵,
【解析】
(I)因为为3维列向量，所以
且秩
那么
线性相关，则设
于是，
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
(21) (本题满分12 分)
设 元线性方程组 ，其中
证明行列式；
当 为何值时，该方程组有唯一解，并求 ；
当 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
【解析】
(I) 数学归纳法：
记 阶行列式 的值为
当 时 , 命题 正确；
当 时， , 命题正确
设时，命题正确
当时，按第一列展开，则有
O
方程组有唯一解，故
时方程组有唯一解,
(III)当 时，方程组为
，方程组有无