文档介绍：导数的几何意义导数的几何意义回顾①平均变化率函数函数 y= y=f(x f(x ) )的定义域为的定义域为 D,x D,x 1. x 2 2∈∈D,f(x) D,f(x) 从从x x 1 1到到x x 2 2 平均变化率为平均变化率为: :②割线的斜率 O A Bx y Y= f(x )x 1x 2 f(x 1) f(x 2)x 2 -x 1=△x f(x 2 )-f(x 1 )=△y 12 12)()(xx xfxfx y?????12 12)()(xx xfxfx yk??????回顾我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ③从函数 y= f(x )在 x=x 0处的瞬时变化率是: ④由导数的意义可知,求函数 y= f(x )在点 x 0处的导数的基本方法是: 0 0 (1) ( ) ( ); y f x x f x ? ? ???求函数的增量 0 0 ( ) ( ) (2) ; f x x f x y x x ?????? ?求平均变化率 00 (3) ( ) lim . xy f x x ? ?????取极限,得导数注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 回顾β y= f(x )P QM Δx Δy O x yβP y= f(x )QM Δx Δy O x y ▲如图: PQ 叫做曲线的割线那么,它们的横坐标相差( ) 纵坐标相差( ) yx ??请问:是割线 PQ的什么?导数的几何意义导数的几何意义: : x?y?斜率▲当Q点沿曲线靠近 P时,割线 PQ 杂么变化? △x呢? △y呢? P Q o x yy= f(x )?割线切线 T导数的几何意义导数的几何意义: :我们发现,当点 Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线 PQ 如果有一个极限位置 PT. 则我们把直线 PT 称为曲线在点 P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 : ' 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x f x x f x y k f x x x ?? ??????? ??? ?切线这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在 x=x 0处的导数. P Qo x y y= f(x )?割线切线 T 例 1:求曲线 y= f(x )=x 2 +1 在点 P(1,2) 处的切线方程. QP y=x 2 +1x y-11 1O ? M ?y?x .2 )(2 lim )11(1)1( lim )()( lim : 2 0 20 0 00????????????????????????x xx x x x xfxxfkx x x解因此,切线方程为 y-2=2(x-1), 即 y=2x. ※求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出 P点的坐标;②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;③利用点斜式求切线方程. 练****练****如图已知曲线,求: (1) 点P处的切线的斜率; (2) 点P处的切线方程. )3 8,2(3 1 3Pxy 上一点?yx -2 -112 -2 -1 1 2 3 4O P 313 y x ?.])(33[ lim 3 1 )()(33 lim 3 1 3 1)(3 1 lim lim ,3 1)1( 22 20 32 20 33 00 3xxxxx x xxxxx x xxxx yyxy x x xx????????????????????????????????解: .42| 22?????xy即点P处的切线的斜率等于 4. (2) 在点 P处的切线方程是 y-8/3=4(x-2), 即 12x-3y-16=0.