文档介绍：中国教育学会中学数学教学专业委员会
全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）
（甲）.如果实数a, b, c在数轴上的位置如图所示,
那么代数式4^-\a + b\+^（c-a）2 + \b + c\ 可若AE = AO, BG = 6,则CF的 长为.
（乙）.已知乃是偶数，且1 W〃（。，。）使得a2 =b2+n成立，则这
样的n的个数为.
三、解答题（共4题，每题15分，共60分）
11 （甲）.已知二次函数y = x2+（m+3） x+m+2,当一 lvxv3时，恒有y<0；关于x的方程
o
x2 +（m + 3） x+m+2 = 0的两个实数根的倒数和小于 ・求m的取值范围.
10
（乙）.如图所示，在直角坐标系 xOy中，点A在y轴负半轴上，点 B、C分别在x轴正、负半轴上，
4
AO = 8,AB = AC,sinZABC = -
。点D在线段AB上，连结CD交y 轴于点E,且S△血=S^ o试求 图像经过B、C、E三点的二次函数 的解析式。
（甲）.如图，。。的直径为AB ,
Q过点。，且与。。内切于点B. C为。。上的点，0C与 Q交于点。，且。D〉CO .点
E在0D上，且DC = DE ,匪的延长线与 Q交于点F,求证：•
12 （乙）.如图，的内接四边形48以》中，AC,仞是它的对角线，4。的中点/是△48〃 证：
0/是△/&〃的外接圆的切线;
AB^AD = 2BD.
（甲）.已知整数a, 6满足：a-b是素数， >2012时，求a的最小值.
13 （乙）.给定一个正整数〃，凸〃边形中最多有多少个内角等于150。？并说明理由.
14 （甲）.求所有正整数"，使得存在正整数和 改， ，工2012，满足%1 < %2 < <工2012，且
2 2012
—+ ——+ + =n.
尤1 尤2 *2012
14 （乙）.将2, 3,…，n （〃N2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数。，b, c （可 以相同），使得ab = c f求〃的最小值.
参考解答
一、选择题
1 (甲).C
解：由实数a, b, c在数轴上的位置可知
b < a <0 < c ,且倒〉c ,
所以 ^/湿—| a + Z? | +J(c - a)，+1 /? + c |= —a + (a + Z?) + (c — a) — (/? + c) — —a.
解：]+ —
2 +——
3 + <7
1H = 1-1 7=— = 1H—f=— = 1 + a/2 — 1 = a/2 .
n . 1 2 + V2-1 a/2+1
（甲）.D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一 个交点的坐标为（3, 2）.
（乙）.B
解：由题设 x+y^2x+2y, 得 OW (x — l)?+(y— I)? W2.
因为X, y均为整数，所以有
(工-1)2=0, 1)2=0,
(y-1尸=0； [(IE
0 —1)2=1, J(x_ 1)2=1, 1尸=0； [(IE.
解得
X — l9 y = l；
fx = 1,
Jx = 0,
Jx = 0,
Jx = 0,
p = 2,
fx = 2,
[x = 2,
[v = 0；
h = l;
i"0；
[y = 2；
[y = l；
i，y = o；
[y = 2.
x-\, y = 2；
以上共计9对（x, y）.
解：由题设知，1 vq + 1 vq + Z? + 1v2q + Z?,所以这四个数据的平均数为
中位数为
于是
3 （乙）.B
1 + (。+1) +(1 + Z? +1) + (2tz + b) 3 + + 2b
4 - 4
(q +1) + (o + Z? +1) 4 + + 2b
2 - 4 '
4 + + 2Z? 3 + + 2Z? _ 1
4 4 ~4 ,
解：如图，以阳为边作等边△%£；连接好
由于 AC = BC, CD 二 CE,
/ BCA 上 BCA^ Z AC〃上 DCR 上 ACD 二 ZACE,
所以以丝BD - AE.
又因为 ZADC = 30° ,所以 ZADE = 90°.
在 Rt A ADE 中，AE = 5, AD = 3,
于是 dNaE。-Ab1 = 4,所以 CD = DE = 4.
（甲）.D
解：设小倩所有的钱数为X元、小玲所有的钱数为*元，x,
x+2 = n（y-2）,