文档介绍：第八章矩阵的广义逆序言?矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆),更适用于奇异方阵,甚至适用于行列数不相等的长方阵.?广义逆矩阵除了上述理论意义之外,,特别在数值分析中十分有用.?本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆, 右逆,自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义逆. 线性方程组一般理论复****定理 A:线性方程组 Ax=b, A?C n?n,x,b ?C n 对任意右端 b都有唯一解的充要条件是 A -1存在. 证:必要性令 Ax (i)=e i,i=1, …n,X=(x (1),…x (n))?C n?n 其中 e i为E n的第 i列(今后将常用此记号) 则AX=(Ax (1),…,Ax (n))=(e 1,…,e n)=E n ? A -1=X. 充分性若A -1存在,则对任意右端 b Ax=b ? x=A -1b 即x=A -1b是线性方程组 Ax=b 的唯一解. 线性方程组一般理论复****续定理 B:对一般线性方程组 Ax=b, A?C r m?n,x?C n,b?C m(1) ①(1) 有解的充要条件是 b?R(A)={ Ay|y ?C n}(R(A ) 也称为 A的值域) ②(1) 有解的充要条件是 rank(A,b)=rank A ( 增广矩阵(A,b) 与系数矩阵 A的秩相等,其意义是 b是A的某些列的线性组合即 b?R(A )) ③(1) 的通解=(1) 的特解+齐次方程组通解 N(A) (齐次方程组解空间 N(A)={ x?C n|Ax =0} 也称为 A的核) ④(1) 有无穷多解的充要条件是 rank A<n dim N(A)= n-rank A=n-r >0 减号逆定义 ?定义:若一般线性方程组 Ax=b, A?C m?n,x?C n,b?C m(1) 对任意 b?R(A) 的解都可表示为 x=A -b,则矩阵 A -?C n?m称为 A的一个减号逆. ?因为当 A?C n n?n时,(1) 的解都可表示为 x=A -1b,所以,在此情形下 A有唯一减号逆: A -=A -1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广. 减号逆举例例1: A= ?C 2?3有下列两个实质不同的减号逆: A -= 或证:易见两种情形都有 AA -=E 2,从而,对任意 b?C 2,AA -b=b ? Ax=b 有解x=A -b?C 2 即对任意 b?R(A)=C 2,Ax=b 的解都可表示为 x=A -b 所以,这两个 A -都是 A的减号逆. 注:此例说明减号逆一般不唯一. ?????????322 221????????????12 00 23???????????00 6/13/1 3/13/1减号逆的充要条件定理 : X?C n?m是A?C m?n的减号逆,当且仅当 AXA=A () 证:必要性若X=A -,则对任意 b?R(A) 都有 AXb =b. 令A=(? 1,…,? n),则Ae i=? i?R(A) ,e i=X? i, AX? i=? i,i=1, …,n, 因此 AX(? 1,…,? n)=( ? 1,…,? n),得证AXA=A. 充分性若X满足() 和x为Ax=b 的解,则 b=Ax= AXAx =AXb , 因此,Ax=b 的解可表为:x= Xb,从而得证 X是A的一个减号逆. 注 给出的减号逆 A - 的充要条件() 也是一些书用来定义减号逆的条件. () , A= ?C 2?3,A -= ?C 2?3 AA -A= =A ?????????322 221????????????12 00 23????????????????????????????????????????????????322 22110 01322 22112 00 23322 221推论推论: A ?C m?n的减号逆 A -的秩不小于 A的秩 rank A ? rank A -证:我们知道: AA -A=A 立即推出 rank A ? rank AA -? rank A -. 我们知道:用行,列初等变换可以把任意矩阵 A?C r m?n化为标准形 diag(E r,0). 令 P?C m m?