文档介绍：线性子空间 ( Linear Subspaces) 线性子空间 ( Linear subspaces) 子空间的交与和 ( Intersection and sum of subspaces) 子空间的直和 ( Direct sum of subspaces) 线性子空间( Linear subspaces) 定义 设 W 是数域 P上线性空间 V 的非空子集, 如果 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P上的线性空间,则称 W 为 V 的一个线性子空间( linear subspace) (简称子空间). 定理 数域 P上线性空间 V 的非空子集 W 是 V 的一个线性子空间当且仅当 W 对于 V的两种运算封闭,即;,,)1(W W???????则如果?k 如果)2(.,W kW????则P, 定理 如果 W 是线性空间 V 的一个子空间, ). dim( ) dim( VW?则由定理 和定理 直接可得以下结论。定理 若 W 是有限维线性空间 V 的子空间,则 W 的一组基可扩充成 V的一组基。 的一个子空间。是则设 n n nmP Px Ax xANPA},0|{)(,?????设是数域 P上线性空间 V 的一组向量,这个向量组的所有线性组合作成的集合记为 W ,即 s???,,, 21?},,1,| { 2211 siPkkkkW iss??????????? W 是 V 的非空子集,并且由定理 知 W 是 V 的子空间。称 W 是由向量生成(或张成)的子空间,记为或。 s???,,, 21?),,,( 21sL????),,,( 21s span ????现在给出由线性空间 V 的一组向量构造 V 的子空间的方法。中两个向量组,则间是线性空间与设 V t s??????,,,,,, 21 21??定理 等价; 与必要条件是的充分 t s t s span span????????,,,, ),,(),,()1( 1 1 1 1?????. ,,),,( ),,,( )),,( dim( )2( 1 1 1 1的一个极大线性无关组的基是向量组并且 s s s s span rank span?????????????的一个子空间。是则设 m n m i nm nPaa span AR PaPaaA),,()( ,,],,[ 1 1??????? 子空间的交与和( Intersection and sum of subspaces) 定理 的子空间。也是子空间,则它们的交的两个上线性空间是数域设VVV V PVV 21 21,?定义 。,记为的和与称为子空间,则集合的两个上线性空间是数域设21 21 221121 21)( },|{ ,VV sum VV VV V PVV????????的子空间。一般不是的并与注意: V VVVV 2121?的子空间。也是子空间,则它们的和的两个上线性空间是数域设VVV V PVV 21 21,?定理 的子空间。是包含,所以显然 21 21 2121VV VVVVVV?????由子空间的交与和的定义可知,子空间的交与和适合下列运算规则: 12211221, )1( VVVVVVVV??????交换律: .)()( ),()()2( 321321 321321VVVVVV VVVVVV??????????结合律: 由结合律,可定义多个子空间的交与和: ????? si isVV VV 1 21???????? si isVV VV 1 21?用数学归纳法容易证明: 和都是 V 的子空间。? si iV 1??? si iV 1的,并且都是有限维与有限维子空间,则的两个上线性空间是数域, 设 2121 21VVVV V PVV??定理 ) dim( ) dim( ) dim( ) dim( 21 21 2 1VVVVVV????? ),,,,,( ),,(),,( ,,,,, 1 1 1 1 1 1 ts t s ts span span span V?????????????????????则, 设 子空间的直和( Direct sum of subspaces) 定义 设,是数域 P上线性空间 V 的两个子空间,如果和中每个向量α可唯一地表示成 1V 2V 21VV? 221121,,VV????