文档介绍：§ 立体几何中的向量方法 （一）
-— 平行和垂直关系的向量证法
知识点一 求平面的法向量
平面α经过三点A(1，2,3)，B（2，0，－1)，C（3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
解 ∵A(1，2，(x,y，z)．
（3）求出平面内两个不共线向量的坐标a＝（a1，b1，c1)，b＝(a2，b2,c2)．
(4）根据法向量定义建立方程组。
（5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.
2．平行关系的常用证法
＝，然后说明直线在平面外,证面面平行可转化证两面的法向量平行．
3．垂直关系的常用证法
要证线线垂直,可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线和平面内两条相交直线垂直．
要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
一、选择题
1。 A（3，5,2）,B（—1，2，1），把按向量a＝（2，1，1）平移后所得的向量是（ )
A．（－4，－3,0） B．（－4，－3,－1）
C．(－2,－1，0) D．(－2，－2,0）
答案 B
＝(－4，－3，－1）．平移后向量的模和方向是不改变的．
2．平面α的一个法向量为（1,2，0)，平面β的一个法向量为（2，－1，0)，那么平面α和平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
答案 C
解析 ∵(1,2,0）·（2，－1,0）＝0,
∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．
3．从点A(2，－1，7）沿向量a＝(8,9,－12)的方向取线段长AB＝34，那么B点的坐标为（ )
A．(－9，－7,7） B．(18,17,－17）
C．(9,7，－7） D．（－14，－19,31）
答案 B
解析 ，设B（x,y，z)，=(x2,y+1，z7）
=λ（8，9， 12），λ>0.
故x2=8λ,y+1=9λ，z7=12λ,
又(x22+（y+12+(z72 = 342，
得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2.
∴x = 18,y = 17,z =17,
即B（18,17， 17).
4．a＝(2，4，5），b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量,假设l1∥l2,那么（ )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案 D
解析 ∵l1∥l2，∴a∥b，
那么有＝＝，
解方程得x＝6，y＝.
5．假设直线l的方向向量为a＝（1，0,2），平面α的法向量为u＝（－2,0，－4），那么（ ）
A．l∥α B．l⊥α
C．lα D．l和α斜交
答案 B
解析 ∵u＝－2a,
∴a∥u，∴l⊥α.
二、填空题
6．A(1，1，－1)，B(2,3,1)，那么直线AB的模为1的方向向量是________________．
答案 或
解析， =（1,2，2），｜ ｜ = 3 。
模为1的方向向量是±,
7．平面α经过点O(0,0，0），且e＝（1，1，1)是α的法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，那么x,y，z满足的关系式是________________．
答案 x＋y＋z＝0
解析 ·e=（x，y，z)·(1，1，1）= x+y+z = 0。
8．假设直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和（2，－3,－2)，那么直线a和b的公垂线(和两异面直线垂直相交的直线）的一个方向向量是________．
答案 （1，4，－5)(答案不唯一)
解析 设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n＝（x,y，z)，a和b的方向向量分别为n1,n2，由题意得即:
解之得：y＝4x，z＝－5x,令x＝1,
那么有n＝（1,4，－5)．
三、解答题
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是BB1、DD1的中点,求证:
（1）FC1∥平面ADE;
(2）平面ADE∥平面B1C1F。
证明 如以下图建立空间直角坐标系Dxyz，
那么有D