文档介绍：圆和方程学问点整理
圆和方程学问点整理
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关于圆与方程的学问点整理
一、标准方程:
二、一般方程：
。
三、点与圆的位 （5）内含
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明：若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
3圆系问题
（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）
说明：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线与圆交点的圆系方程
（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线
十、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）
（2）干脆法：通过已知条件干脆得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.
例：过圆外一点作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析：
（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
特点为：主动点确定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
，已知定点，点是圆上的动点，的平分线交于，当点在圆上挪动时，求动点的轨迹方程.
分析：角平分线定理和定比分点公式.
：，点，、是圆上的两个动点，、、呈逆时针方向排列，且
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，求的重心的轨迹方程.
法1：，为定长且等于
设，则
取的中点为，
， （1）
，
故由（1）得：
法2：（参数法）
设，由，则
设，则
，由得：
参数法的本质是将动点坐标中的和都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出，的范围.
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（4）求轨迹方程常用到得学问
①重心，②中点，
③内角平分线定理：
④定比分点公式：，则，
⑤韦达定理.
高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并推断点与圆的关系．
圆的方程为；点在圆外．
例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
圆的方程为，或．
例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解：∵圆和直线与相切，
∴圆心在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线和的间隔 相等．
∴．
∴两直线交角的平分线方程是或．
又∵圆过点，
∴圆心只能在直线上．
设圆心
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∵到直线的间隔 等于，
∴．
化简整理得．
解得：或
∴圆心是，半径为或圆心是，半径为．
∴所求圆的方程为或．
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例4、 设圆满意：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满意条件(1)(2)的全部圆中，求圆心到直线的间隔 最小的圆的方程．
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满意两个条件的圆有多数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的间隔 公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．
解法一：设圆心为，半径为．
则到轴、轴的间隔 分别为和．
由题设知：圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得弦长为．
∴
又圆截轴所得弦长为2．
∴．
又∵到直线的间隔 为
∴
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当且仅当时取“=”号，此时．
这时有
∴或
又
故所求圆的方程为或
解法二：同解法一，得
．
∴．
∴．
将代入上式得：
．
上述方程有实根，故
，
∴．
将代入方程得．
又 ∴．
由知、同号．
故所求圆的方程为或．
说明：本题是求点到直线间隔 最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
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例5 已知圆，求过点与圆相切的切线．
解：∵点不在圆上，
∴切线的直线方程可设为
根据
∴