文档介绍：计算方法非线性方程
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本讲稿第一页，共三十页
方程的根
逐步搜索法
区间二分法
§ 初始近似值的搜索
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本讲稿第二页，共三十页
对于一元非线性方程f(x)=0 , 若存在数x*, 使得
根区间：
的长度为
从而
显然有
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本讲稿第十三页，共三十页
实际计算中，对于给定的根的允许误差
只要
就可确定得到满足精度要求的近似根,
同时也得到所需二分次数k.
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本讲稿第十四页，共三十页
例1 用二分法求方程
在区间
内的实根
的近似值，并指出其误差。
解
这里
在
内连续，
所以 是 的有根区间。
用二分法计算结果如下表：
+
+
+
+
3
2
2
2
2
6
5
4
3
2
1
0
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本讲稿第十五页，共三十页
若取
其误差为
（可求得根的精确值为 ）。
例2 用二分法求方程
的非零实根的近似值,
使其误差不超过 。
由
用二分法计算结果如下表：
解
如图，可看出
故方程只有一个非零实根
与
横坐标介于
与
之间，
除原点外只有
一个交点，
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2
2
2
5
4
3
2
1
0
所以可取
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本讲稿第十七页，共三十页
例3 证明非线性方程f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]内有一根.
用二分法求误差不大于 的根要二分多少次?
解：f (x)是连续函数，且 f(0)>0, f(1)<0
所以，f (x)在[0,1]内有且只有一个根.
所以要二分14次.
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本讲稿第十八页，共三十页
二分法的计算步骤：
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本讲稿第十九页，共三十页
二分法算法简单，编制程序容易，缺点是不能求偶数重根
和复数根，故而一般常用此方法求根的初始近似值，再用其
他的求根方法精确化。
注意：
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迭代原理
迭代的收敛性
迭代的收敛速度
迭代的加速
§ 迭代法
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1、一般形式（具体做法）：
依次得到
一个序列
一、迭代原理
迭代法是一种逐次逼近的方法，用某种固定格式反复校正根的近似值，使之逐步精确，最后得到满足精度要求的结果.
取初始近似根 x0 ,代入右端，
方程 f (x)=0化为等价形式的方程 ， 连续.
构造迭代公式
进行迭代计算
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这种求方程近似根的方法称为简单迭代法（逐次迭代法）.
称为迭代公式或迭代过程
称为根的初始近似值
称为根的k次近似值；
称为迭代函数；
称为迭代序列
其中：
如果这个序列有极限，则称迭代算法是收敛的，否则发散.
即序列{ xk }的极限x*就是方程 f (x)=0的根.
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若迭代法收敛，可经过有限次计算得到满足精度要求的近似根；
若迭代法发散，发散的迭代法没有任何使用价值。
注意：
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例4 用迭代法求方程
在
内的根。
解
将方程转化为等价方程
得相应的迭代公式
若取初值
计算结果如下表
从表中可以看出，
迭代序列是收敛的。
1 2 3 4 5
7 8 9 10
…
…
6
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注意：
很明显，将方程改写成等价方程