经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式.docx

文档介绍：几 个 经 典 不 等 式 的 关 系
一 几个经典不等式
（1）均值不等式
设 a1, a2 ,L an 0 是实数
其中 ai 0, i 1,2,L n . 当且仅当 a1 a2 L an 时，等号成立 .
几 个 经 典 不 等 式 的 关 系
一 几个经典不等式
（1）均值不等式
设 a1, a2 ,L an 0 是实数
其中 ai 0, i 1,2,L n . 当且仅当 a1 a2 L an 时，等号成立 .
（2）柯西不等式
设 a1, a2 ,L an ,b1, b2 ,L bn 是实数，则
当且仅当 bi
0(i
1,2,L , n) 或存在实数 k ，使得 ai kbi (i
1,2,L
, n) 时，等号成立 .
（3）排序不等式
an ，b1 b2
L
bn 为两个数组， c1 c2
L
cn 是 b1 b2,L
bn 的任
设
a1 a2
L
，
， ， ，
，
一排列，则
当且仅当 a1
a2
L an 或 b1
b2
L bn 时，等号成立 .
（4）切比晓夫不等式
对于两个数组： a1 a2
L
an ， b1 b2 L bn ，有
当且仅当 a1
a2
L an 或 b1
b2
L bn 时，等号成立 .
二 相关证明
1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由
而
根据“顺序和 乱序和”（在 n 1个部分同时使用），可得即得
同理，根据“乱序和 反序和”，可得综合即证
（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”
： n a1a2 L an
a1 a2 L an
n
证明：构造两个数列：
其中 c n a1a2 L an . 因为两个数列中相应项互为倒数， 故无论大小如何， 乘积的
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
和：
．．
总是两数组的反序和 . 于是由“乱序和 反序和”，总有
．．．．．．．．．
于是
即
即证
（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：
a1 a2 L an
a12
a22
L an2
n
n
证明：不妨设 a1 a2 L an ，
a1 a2 L an
a12
a22 L an2
a1 a2 L an
a1 a2 L an
a12
a22 L an2
n
n
n
n
n
.
由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立 . 即证.
（4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”
n
a