历届全国大学生数学竞赛预赛试卷.docx

文档介绍：全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题
5 分，共 20 分）
( x y)ln(1
y
)
x2
y2
（ 5）求直线 l1 :
x
y 0 与直线 l2
: x 2
y
1
z
3的距离 .
z
0
4
2
1
二、（ 15 分）设函数 f (x) 在 ( ,
) 上具有二阶导数，并且
f (x) 0 ， lim f (x)
0 ，
x
lim f ( x)
0 ，且存在一点 x0 ，使得 f ( x0 )
0 . 证明：方程 f ( x)
0 在 (
,
) 恰有两个实
x
根 .
x
2t
t
2
2
3
三、（ 15 分）设函数 y
f ( x) 由参数方程
d y
y
(t )
(t
1) 所确定，且
dx2
4(1 t ) ，
其中
(t) 具有二阶导数，曲线
y
(t ) 与 y
t 2
e u2
du
3 在 t
1出相切，求函数
(t) .
1
2e
四、（ 15 分）设 an
n
0, Sn
ak ，证明：
k
1
（1）当
1时，级数
an
收敛；
n 1 Sn
（2）当
1且 sn
( n
) 时，级数
an
发散 .
n 1 Sn
五、（ 15 分）设 l 是过原点、方向为 ( ,
,
) ，（其中
2
2
2
1) 的直线，均匀椭
球
x2
y2
z2
1（其中 0
c b a ，密度为
1）绕 l 旋转 .
a2
b2
c2