文档介绍:- 2 -
“新定义〞型中考试题例析
绍兴市文理附中 冯梅
纵观近几年全国各地中考数学试题,“新定义〞型试题已越来越受到各地命题者的青睐。在近几年的绍兴中考数学试卷中,每年都有一个有关“新定义〞型的试题,它已成为绍兴中考数
O
y
A
B
D
1
1
解答以下问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
〔1〕求抛物线和直线AB的解析式;
〔2〕点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;
〔3〕是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,假设存在,求出P点的坐标;假设不存在,请说明理由.
解:〔1〕设抛物线的解析式为:
把A〔3,0〕代入解析式求得
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所以
设直线AB的解析式为:
由求得B点的坐标为
把,代入中
解得:,所以
〔2〕因为C点坐标为(1,4)
所以当x=1时,y1=4,y2=2,所以CD=4-2=2
〔平方单位〕
〔3〕假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,
那么
由S△PAB=S△CAB,得:
化简得:,解得,
将代入中,解得P点坐标为
点评:此题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式,并要求现学现用,总体来说此题难度不大.
7.定义一个图形
“点〞
例7〔2021绍兴〕联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.
定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
举例:如图1,假设PA=PB,那么点P为△ABC的准外心.
应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数.
探究:△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
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应用:解:①假设PB=PC,连接PB,那么∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=DB=AB,
与PD=AB矛盾,∴PB≠PC,
②假设PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,
③假设PA=PB,由PD=AB,得PD=BD,
∴∠APD=45°,故∠APB=90°;
探究:解:∵BC=5,AB=3,∴AC=,
①假设PB=PC,设PA=x,那么,∴,即PA=,
②假设PA=PC,那么PA=2,
③假设PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.
故PA=2或.
点评:这是一道新概念试题,解答此题的关键是理解新概念的含义,然后结合有关图形性质分情况进行计算验证.
“线〞
例8〔2021甘肃兰州〕如图,定义:假设双曲线y=(k>0)与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点,那么线段AB的长度为双曲线y=(k>0)的对径.
〔1〕求双曲线y=的对径;
〔2〕假设双曲线y=(k>0)的对径是10,求k的值;
〔3〕仿照上述定义,定义双曲线y=(k<0)的对径.
解:过A点作AC⊥x轴于C,如图,
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(1)解方程组,得,
∴A点坐标为(1,1),B点坐标为(-1