文档介绍：函数、极限和连续
§ 函数
一、 主要内容
㈠函数的概念
函数的定义：y=f(x), x € D
定义域:D(f), 值域:Z(f).
f (x) x D1
y=彳
分段函数：7 g(x) x d2
隐函数：F(x
函数极限存在的判定准则：
设：对于点xo的某个邻域内的一切点
(点Xo除外)有：
g(xp f(xp h(x)
且:
lim g(x)二 lim h(xp A
x- x0 x > x0
则:
lim f (x)
x > Xo
㈣极限的运算规则
若：lim u(x)二 A, lim v(x)二 B
则：① lim[u(x) - v(x)] = limu(x)- limv(x)= A- B
lim[ u(x) v(x)p lim u(x) lim v(xp A B
u(x) lim u(x) A
v(x) lim v(x) B (lim v(x) 0)
推论：① lim[ 5(x)- U2(x)- - Un(x)]
二 lim u'x) lim u2(x) lim un(x)
lim[ c u(x)p c lim u(x)
lim[ u(x)]n = [lim u(x)]n
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
㈤两个重要极限
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
sin x lim
1 - x- 0 x
lim心勺
:(x) > 0 : (x)
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
丄
2 lim (V -)
2 - Xr X
lim (1 x)'
x 、0
§
、 主要内容
㈠函数的连续性
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
:
f(x) 在Xo的邻域内有定义,
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
lim y
x > 0
limo[ f (x。x) f (x°)] = 0
* 0
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
lim
x ‘ X°
f(x)
f(X。)
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
左连续：XinXof(x^ f(x0) 右连续：XPX0+f(x)= f(X0)
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
函数在Xo处连续的必要条件:
f(x) 在X0处极限存在
定理： f(x) 在X0处连续
两类间断点的判断:
两类间断点的判断:
3. 函数在Xo处连续的充要条件:
f (Xo)
定理：lim f(x)二 f(x°)= lim f(x)= lim f(x)
疋理：x—； xq x > x0 X》x0
函数在'a,b］上连续：
f(x) 在'a,b］上每一点都连续。
在端点a和b连续是指：
!吧+心)=f(a)左端点右连续；
!四屮小f(b)右端点左连续。
————1
a + 0 b - x
函数的间断点：
若 f(x) 在xo处不连续，则xo为 f(x) 的间断点。
间断点有三种情况：
io)x(f 在xo处无定义;
2°
lim f (x)
X、Xo
不存在;
3°
)x(f
在xo处有定义，且