文档介绍：概率与统计知识点与题型
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1、基本概念：
必然事件：在条件 S下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S的必然事件；
不可能事件：在条件 S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S的不可能事件数、无理数
3•⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生
k 次的概率是：p(E k) C：pkqnk[其中 k 0,1, ,n,q 1 p]
于是得到随机变量 E的概率分布如下：我们称这样的随机变量 E服从二项分布，记作 〜B(n・p),其中
n, p 为参数，并记 C：pkqn k b(k;n p).
⑵二项分布的判断与应用•
二项分布，实际是对 n次独立重复试验•关键是看某一事件是否是进行 n次独立重复，且每次试验只有两
种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布
当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，
此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列
几何分布：“ k ”表示在第k次独立重复试验时， 事件第一次发生，如果把k次试验时事件 A发生记
为Ak，事A不发生记为A k,P(A k) q ,那么P(E k) pRAI ATTa)根据相互独立事件的概率乘法分式：
P(E k) P(AjP(A2)P(Ak1)P(Ak) qk 1p (k 1,2,3,)于是得到随机变量E的概率分布列
1
2
3
k
P
q
qp
q2p
k 1
q p
我们称E服从几何分布，并记 g(k, p) qk 1p，其中q 1 p. k 1,2,3
5•⑴超几何分布：一批产品共有 N件，其中有M( MK N)件次品，今抽取 n(1 n N)件，则其中的次品数
E是一离散型随机变量，分布列为
P(E k)
Ck n k
M CN M
cN
(0
k M,0
n k N M).〔分子是从 M件次品中取
k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数,
如果规定m v r时cm
0，则k的范围可以写为
k=0, 1,
,n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由
a件次品、b件正品组成，今抽取
n件(1< nw a+b)，则次品数
k n k
k 0,1,
,n..
E的分布列为p(e k) Ca Cn b Cab
⑶超几何分布与二项分布的关系
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数E服从超几何分布•若放回式抽取，
则其中次品数 的分布列可如下求得：把 a b个产品编号，则抽取 n次共有(a b)n个可能结果，等可能：
k k n k
(n k)含 C：akbnk 个结果，故 P(n k) Cna b n 需(—^)k(1 —)n k,k 0,1,2, ,n，即 〜B( n 旦)」我
(a b) a b a b a b
们先为k个次品选定位置，共 Ck种选法；然后每个次品位置有 a种选法，每个正品位置有 b种选法］可以
证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， P(E k) P(n k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无
放回抽样可近似看作放回抽样 •
、数学期望与方差
：一般地，若离散型随机变量 E的概率分布为
X1
X2
Xi
P
P1
P2
Pi
则称E XiPi X2P2 XnPn 为E的数学期望或平均数、均值 •数学期望又简称期望•数学期望反映了
离散型随机变量取值的平均水平 •
2•⑴随机变量 a b的数学期望：E E(a b) aE b
当a 0时，E(b) b，即常数的数学期望就是这个常数本身 •
当a 1时，E( b) E b，即随机变量E与常数之和的期望等于 E的期望与这个常数的和
当b 0时，E(a ) aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积
⑵单点分布:
⑶两点分布:
E c 1 c其分布列为：P( 1) c.
E 0 q 1 p p，其分布列为：(p + q = 1 )
E
0
1
P
q
p
⑷二项分布：E
k£pkqnk np其分布列为
B(n, p)・(P为发生 的概率)
⑸几何分布：E
1
— 其分布列为 〜q(k, p) • (P为发生 的概率)
P
、标准差的定义
当已知随机变量E的分布列为P(
Xk) Pk(k 1,2,)时，则称
\D • 为E的根方差或标准
D (X1 E )2P1 (X2 E )2P2 (Xn E )2Pn