文档介绍：-----直线的方向向量与平面的法向量
(一)
上一节,我们把向量从平面推广到空间,.
立体几何研究-----直线的方向向量与平面的法向量
(一)
上一节,我们把向量从平面推广到空间,.
立体几何研究的基本对象是点、直线、,首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.
思考
如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?
A
P
1、点的位置向量
A
B
P
2、直线的方向向量
这样,点A和向量 不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点.
α
o
b
a
P
3、平面的法向量
这样,点O与向量
不仅可以确定平面 的位置,还可以具体表示出 内的任意一点
法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α ，那么向量a叫做平面α的法向量
α
l
a
类似于直线的方向向量，还可以用平面的
法向量表示空间中平面的位置
问题：法向量如何确定平面的位置？
A
给定一点A和一个向量a,那么，过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的。
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。
4、法向量的运用
例1 (1)设 分别是直线 的方向向量,根据下列条件判断 与 的位置关系:
②
③
分析:直线方向向量与直线位置关系,
据此可判断两直线的位置关系
①平行②垂直③相交或异面
例1 (2)设 分别是平面 的法向量,根据下列条件判断 与 的位置关系:
②
③
分析:平面法向量与两平面位置关系,
据此可判断两平面的位置关系
①垂直②平行③相交(不垂直)
例1 (2)设 分别是平面 的法向量,根据下列条件判断 与 的位置关系:
②
③
分析:直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系,
据此可判断直线和平面的位置关系
例1 (3)设 是平面 的法向量, 是直线 的方向向量,根据下列条件判断 与 的位置关系:
②
③
① ②垂直③相交(斜交)
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)
∴
设平面 的法向量是
依题意,有 ,即
解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2
∴平面 的一个法向量是
小结
,是实现空间问题的向量方法的媒介.
、平面之间关系的原理与方法,特别是直线、平面的位置关系与方向向量、法向量之间的联系.