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圆的知识点总结
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(一)圆的有关性质
［知识归纳］
：
圆、圆心、半径.•• AO的度数为50..
解法二：〔用圆周角求〕如图
2-2,延长AC交OC丁点E,连结ED
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图2— 2
.• AE是直径,二 Z ADR 900
. Z AC& 90° , Z B= 25° ,二 Z E= Z B= 25
妃的度数为50°.
解法三：〔用圆心角求〕如图 2-3,连结CD
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. ZAC& 90° , Z B= 25° ,二 Z A= 65
C住 CD 二 ZADC^Z A= 650 c
•••ZACS 50° ,一的度数为 500.
例3.：如图3, ZXABC内接丁O O且AA AC, O O的半径等丁 6cm,.点到BC的距 离Og丁 2cmi求AB的长.
析：由于不知道Z A是锐角还是钝角,因此圆心有可能在三角形内部,还可能在三角形 外部,所以需分两种情况进行讨论.
略解：〔1〕假假设/ A是锐角,△ ,由AA AC可知点A是优 c
弧#.的中点,由于0皿BCH AA AG根据垂径定理推论可知,DO勺延长线必过点A,连结 BO
.• BO 6, OA2
在 Rt △ ADB中,AE> DO AO 6+ 2= 8
..AB =面+昭=成顽伊=4质函
图3 图3- 1
〔2〕假设Z A是钝角,那么△ ABC是钝角三角形,如图3—1添加辅助线及求出3D = 4扼,
在 Rt△ ADB中,AE> AO D8 6-2 = 4
...ab •'.E .• 必
珠上所述AA 4 —寸"'_ L〞.
小结：但凡与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三 角形的位置关系,预防丢解或多解.
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例4.：如图4, AB是CDO的直径,弦CEUAB, F是CD延长线上一点,AF交CD O
：AE・EF= EC・ED
图4
分析：求证的等积式 AE・EF= EC・ED中,有两条线段EF、ED^A EDF中,另两条线段 AE、EC没有在同一三角形中,欲将其置丁三角形中,只要添加辅助线 AG设法证明△ FEB △ CEAffl 可.
证明：连结AC
..•四边形DEA6J接于圆
••• Z FD日 Z CAE Z FEA Z DCA c c
••直径 ABL CD •,-'--
••• Z DC缶 Z CEA 二 Z FEA Z CEA
. FEt^A CEA
.•迎乱,. . AE・ EF= EC・ ED
小结：四边形内接丁圆这一条件,常常不是在条件中明确给出的,而是隐含在图形 之中,在分析条件时,千万不要忽略这一重要条件.
例5.：如图5, AM是③.的直径,过O O上一点B作BNUAM垂足为N,其延长线 交CD O丁点C,弦CD交AM于点E.
图5
如果CEUA己求证：EN^ NM
如果弦CD交AB丁点F,且CE> A己求证C^= EF • ER
如果弦CD绕点C旋转,并且与AB的延长线交丁点F,且CAA己那么(2)的结 论是否仍成立？假设成立,请证明；假设不成立,请说明理由
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证明：〔1〕连结BM〔如图5- 1〕
. AM是直径,二 Z AB/ 900
CEU AB, . . BM/ CD
. .ZEd MB. 乂 Al\^ BG •,- CN^ BN
. .Rt△ CE阵Rt△ BMN . .EN= NM
(2)连结 BD BE, AC (如图 5- 2)
村
•••点E是BC垂直平■分线AM±一点,
BA EC
C C C C
. CC= AB , AD=BC
Z ACS Z BDC 乂 AA AG AA AE
••• AABE^AACE/ ABE^Z Ad BDC
•.•Z BE丸公共角,BE[^A FEB
•••BU= EF・ ER CE= EF・ ED
- 3
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