文档介绍：多元线性回归异方差问题
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一、异方差及其影响
1、异方差的定义：
对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。异方差可采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不存在异方差性。
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三、异方差的解决方法
加权最小二乘法
模型的重新设定
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（一）加权最小二乘法
基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而使模型的随机误差项具有同方差性。
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
假设已知随机误差项的方差为var(ui)= i2 , 设权数wi与异方差的变异趋势相反, wi =1/i,, 将原模型两端同乘以wi。wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方和为
获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回归模型y=Xβ＋u，令权数序列wi =1/i ，W为N×N对角矩阵，对角线上为wi ，其他元素为0。则变换后的模型为
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
（1）误差方差与xi成比例
Var(ui)=σ2 * xi
其中σ2为常数，这时可以令权序列
（2）误差方差与xi2成比例
Var(ui)=σ2 * xi2
其中σ2为常数，这时可以令权序列
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
实例：住房支出模型
给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据，建立住房支出模型，并检验和修正异方差。
（3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
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（一）加权最小二乘法
（4）用随机误差项的近似估计量求权重序列
首先利用OLS估计原模型得到残差序列 ，然后利用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列，即令
实例：采用该方法修正6-1模型的异方差性
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（一）加权最小二乘法
OLS是加权最小二乘法的特例
显然，当满足同方差假定时，
w1 = w2 = = wn = 1/ = 常数
即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是OLS法。
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纠正异方差性的一个可行程序
（1）将y对x1, x2,…xk做回归并得到残差u;
（2）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u2);
（3）做log(u2)对x1, x2,…xk的回归并得到拟合值g；
（4）求拟合值的指数：h=exp(g)
（5）以1/h为权数用WLS来估计方程。
在（3）中做log(u2)对 的回归本质上是完全一样的
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实例：
。
基本回归模型如下：
cigs=a0+a1log(income)+a2log(cigpric)+a3educ
+a4age+a5age2+a6restaurn
其中cigs为每天吸烟的数量； income为年收入； cigpric为每包香烟的价格（以美分为单位）；educ为受教育年数；age为年龄；restaurn为一个二值变量（若此人居住的州禁止在餐馆吸烟，则取值1，否则取值0）。
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（二）模型的重新设定
在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。
这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程度。
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案例——居民储蓄模型估计
1、问题的提出
2、初步模型估计
3、异方差检验
4、异方差模型的估计
加权LS法和模型变换法
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1、问题的提出
储蓄是居民的金融消费，也是满足相应收入水平的“基本生活”以后的扩展消费，从具体问题的经验分析，储蓄具有异方差特性。因此建立储蓄模型就不能使用最小二乘法。
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2、初步模型估计
首先，估计居民储蓄与可支配收入之间的