文档介绍：湘潭大学数学与计算科学学院王文强 1 上一页下一页返回第二节相似矩阵 1、向量内积的概念 2、相似矩阵的概念与性质 3、矩阵的对角化 4、实对称矩阵的对角化湘潭大学数学与计算科学学院王文强 2 上一页下一页返回一、向量的内积,, 2 12 1?????????????????????????????? nny y yyx x xx??定义 设有维向量 n 1 1 2 2 ( , ) T n n x y x y x y x y x y ? ?????与的内积定义为: xy ( , ) x y 1、向量的内积的定义及性质湘潭大学数学与计算科学学院王文强 3 上一页下一页返回(1) ( , ) ( , ); x y y x ?(2) ( , ) ( , ) x y x y ? ??( ); R??(3) ( , ) ( , ) ( , ); x y z x z y z ? ??(4) ( , ) 0, x x ?当且仅当时等号成立. 0x?内积的性质: 湘潭大学数学与计算科学学院王文强 4 上一页下一页返回定义 令 2 2 2 1 2 ( , ) n x x x x x x ? ?????称为维向量的长度(或范数) xnx 2、范数的定义及性质湘潭大学数学与计算科学学院王文强 5 上一页下一页返回长度具有下列性质: (1)非负性: 0,x?等号成立当且仅当 0 ; x?(2)齐次性: ; x x ? ??当时,称为单位向量. 1x? x显然当时, 是单位向量,称为把向量 0x? xx单位化. x (3)三角不等式: .yxyx???湘潭大学数学与计算科学学院王文强 6 上一页下一页返回向量的内积满足 Cauchy-Schwarz 不等式 2 ( , ) ( , )( , ) x y x x y y ?或( , ) . x y x y ?定义 非零向量的夹角定义为, x y ( , ) os . x y x y ??当时,称向量与正交. ( , ) 0 x y ? x y 湘潭大学数学与计算科学学院王文强 7 上一页下一页返回(1)正交的概念(2)正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组. 3、正交向量组的概念及求法当时,称向量与正交. ( , ) 0 x y ? x y注意: 零向量与任何向量正交. 湘潭大学数学与计算科学学院王文强 8 上一页下一页返回4、向量空间的正交基. ,,,,, ,,,,,, 21 21 21 的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若V V r r r????????????如果正交基中每个向量均是单位向量,则称为向量空间的正交规范基或标准正交基。湘潭大学数学与计算科学学院王文强 9 上一页下一页返回定理 正交向量组必定是线性无关组. 证设是两两正交的非零向量, 有使 1 2 , , , r ? ? ?? 1 2 , , , r ? ? ?? 1 1 2 2 0 r r ??????? ????上式两端左乘得 Tj?0 T j j j ????湘潭大学数学与计算科学学院王文强 10 上一页下一页返回因为故 0, j?? 20 T j j j ???? ?所以可得 0( 1, 2, , ) j j r ?? ??因此线性无关. 1 2 , , , r ? ? ??