文档介绍：主要内容主要内容代数基本定理代数基本定理复系数多项式因式分解定理复系数多项式因式分解定理第八节第八节复系数与实系数复系数与实系数多项式的因式分解多项式的因式分解实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理一、代数基本定理一、代数基本定理以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题,现在来看一下在复数域与实数域上多项式的因式分解. 复数域与实数域既然都是数域,因此前面所得的结论对它们也是成立的. 但是这两个数域又有它们的特殊性,,我们有下面重要的定理: 代数基本定理代数基本定理每个次数每个次数??1 1 的复系数多项的复系数多项式在复数域中有一根式在复数域中有一根. .这个定理的证明在本课程中不讲,将来利用复变函数论中的结论,() 代数基本定理显然可以等价地叙述为: 每个次数每个次数??1 1 的复系数多项式,在复数域上一的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式定有一个一次因式. . 由此可知,在复数域上所有次数大于 1 的多项式全是可约的. 换句话说,不可约多项式只有一次多项式. 于是,因式分解定理在复数域上可以叙述成: 二、复系数多项式因式分解定理二、复系数多项式因式分解定理每个次数每个次数??1 1 的复系数多项式在复数域上都可的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积以唯一地分解成一次因式的乘积. .因此,复系数多项式具有标准分解式,)()()()( 2 12 1 sls llnxxxaxf????????其中? 1 ,? 2 ,…, ? s是不同的复数, l 1 , l 2 , …, l s n n次复系数多次复系数多项式恰有项式恰有 n n个复根个复根( (重根按重数计算重根按重数计算) . ) . 三、实系数多项式因式分解定理三、,以下的事实是基本的,即如果如果??是实系数多项式是实系数多项式 f f ( (x x ) ) 的复根,那么的复根,那么??的共的共轭数轭数??也是也是 f f ( (x x ) ) 的根的根. .因为设 f (x ) = a nx n + a n -1x n -1 + … + a 0 , 其中 a 0 , a 1 , …, a n是实数. 由假设 f (?) = a n? n + a n -1? n -1 + … + ? 0 = 0 . 两边取共轭数,有 f (?) = a n? n + a n -1? n -1 + … + a 0 = 0 , 这就是说, f (?) = 0 ,?也是 f (x ) 的根. 由此可以证明实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理每个次数每个次数??1 1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积次因式与二次不可约因式的乘积. . 证明证明定理对一次多项式显然成立. 假设定理对次数< n的多项式已经证明. 设f (x ) 是n次实系数多项式. 由 f (x ) 有一复根?.如果?是实数,那么 f (x ) = ( x - ? ) f 1(x ) , 其中 f 1(x ) 是n - 1 ?不是实数,那么?也是 f (x ) 的根且???. 于是 f (x ) = ( x - ? ) ( x - ? ) f 2(x ) . 显然(x - ? ) ( x - ? ) = x 2 - ( ? + ?)x + ??是一实系数二次不可约多项式. 从而 f 2(x ) 是n - 2 次实系数多项式. 由归纳法假设, f 1(x ) 或f 2(x ) 可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积,因而 f(x ) ,实系数多项式具有标准分解式,)( )()()()( 2 11 2 1 1 1r skrr k ls lnqxpx qxpxcxcxaxf?????????其中 c 1 , …, c s , p 1 , …, p r , q 1 , …, q r全是实数, l 1 , …, l s , k 1 , …, k r是正整数,并且 x 2 + p i x + q i ( i = 1 , 2 , …, r ) 是不可约的,也就是适合条件 p i 2 - 4 q i < 0, i = 1 , 2 , …, r .