文档介绍：2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 1 /46 第7章小波与小波变换目录 小波介绍 小波简史 小波概念 小波分析 小波定义 哈尔函数 哈尔基函数 哈尔小波函数 函数的规范化 哈尔基的结构 哈尔小波变换 规范化算法 二维哈尔小波变换 二维小波变换举例 二维小波变换方法 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 2 /46 小波介绍?小波(wavelet) 是什么?在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数?具有有限的持续时间和突变的频率和振幅?在有限的时间范围内,它的平均值等于零 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 3 /46 小波介绍(续1) ?部分小波?许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名,例如, ? Moret 小波函数是 Grossmann 和 Morlet 在1984 年开发的?db6 缩放函数和 db6 小波函数是 Daubechies 开发的图7-1 正弦波与小波——部分小波 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 4 /46 小波介绍(续2) ? 1807: Joseph Fourier ?傅立叶理论指出,一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和,叫做傅立叶展开式?小波简史?小波变换(wavelet transform) 是什么?老课题:函数的表示方法?新方法: Fourier - Haar - wavelet transform 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 5 /46 小波介绍(续3) where cos sin j t e t j t ?? ??? ?( ) ( ) ( ) ( ) e j t j t F f t e dt f t F ?????????????????? 12 ?只有频率分辨率而没有时间分辨率?可确定信号中包含哪些频率的信号,但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 6 /46 小波介绍(续4) ? 1909: Alfred Haar ? Alfred Haar 对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。 1909 年他发现并使用了小波,后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets) 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 7 /46 小波介绍(续5) ? 1945: Gabor ?开发了 STFT (short time Fourier transform) ( , ) ( ) where: ( ) signal ( )= windo ( wing ) function j tg STFT s t e dt s t g t t ????????? STFT 的时间-频率关系图 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 8 /46 小波介绍(续6) ?1980 : Morlet ?20世纪 70年代,在法国石油公司工作的年轻地球物理学家 Jean Morlet 提出小波变换(wavelet transform , WT) 的概念。?20世纪 80年代, 开发了连续小波变换(continuous wavelet transform , CWT) ?1986 : ?法国科学家 与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数,用于分析函数?用缩放(dilations) 与平移(translations) 均为 2 j(j≥0的整数)的倍数构造了 L 2(R)空间的规范正交基,使小波分析得到发展 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 9 /46 小波介绍(续7) ?1988 : Mallat 算法?法国科学家 Stephane Mallat 提出多分辨率概念,从空间上形象说明小波的多分辨率的特性,并提出了正交小波的构造方法和快速算法,称为 Mallat 算法[1] ?该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法, 其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位 2017 年2月 18 日第7章小波与小波变换 10 /46 小波介绍(续8) ?小波理论与工程应用? Inrid Daubechies 于1988 年最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks) 之间的内在关系[2] ,使