文档介绍：数学学****笔记数学专业刘素芳高等代数研究 01 本将主要内容包括:一、集合的概念,二、集合的运算,三、映射,四、置换一、集合的概念“集合”没有严格的定义具有某种性质元素的全体称之为集合。 A、 B、 C表示集合 a、 b、 c表示元素 a∈ Aa∈ B则称 A集合包含于 B集合集合的相等属于等价集合,即自反性 A包含于 B, B包含于 A,即 A=A 对称性:若 B=A 、则A=B 传递性:若A=B、B=C 则 A=C 集合例子:( 1)所有自然数集合一般地用 N表示, ( 2) ( 3) (4)由有限个元素 1a 2 3 a a …na 所构成的集合,一般用 A={ 1a 2 3 a a …na } 表示(5 )所有偶数集合表示为 B={2n| n∈ z} (6) 如果一个集合的元素也是个集合,则称此集合为集族(7) 、由一个集合 A 的所有子集所构成的集合,称为该集合的幂集,用 P(A) 表示例:若 A= (a、b、c)则p(A)={ 空集、{a} 、{b} 、{c} 、{a、 b}、{a、 b}、{a、 c}、{b、 c}、{a、b、 c}} V 称为万有几何、集合的运算性质: 1、A∪ B=B ∪AA∩ B=B ∩A, 2、(A∪B)∪ C=A ∪(B∪C)3、A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 4、A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)5、A∪A =V,A∩A = 空集 6 、若 A? B则(A∪B) =BA∩ B=A 证明: A∪(B∩C)=(A∪B)∩C 证明: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 若a∈=(A∪B)∩(A∪C) 则a∈(A∪B )且 a∈A∪C 若a∈A ,则 a∈A∪(B∩C) ∴a∈A∪(B∩C) 无论怎样均有( A∪B)∩(A∪C)? A∪(B∩C) 另一方面若a∈A∪(B∩C) 或者若 a∈A ,则 a∈=(A∪B)∩(A∪C)。 3 、映射, 4 、置换。二,集合的运算并??| A B x x A x B ? ???或交??| A B x x A x B ? ???且差??- | A B x x A x B ? ??且 V 成为万有集合 V A A ?? ?称为 A 的补集, A A V ???集合运算性质高等代数研究 02, 一, 有限集合与无限集合定义 如果两个集合 A与B 之间存在一个一一映射, 则称这两个集合是等价的, 并称它们具有相同的“势”。自然数集合 N 的一个部分集合{1, 2,...,n} 称之为自然数的一个片段,用|1, n| 表示。定义 1,1,11 与自然数片段|1, n| 等价的集合 A 成为有限集合。自然数集合 N 是一个无限集合。事实上,f(n) =n+1 是N 到其真子集合的双映射,即N 与真子集等价, 所以,N 不是有限集合, N的“势”用?表示。事实上,f(n) =n+1 是N 到其真子集合的双映射,即N 与真子集等价, 所以,N 不是有限集合, N的“势”用表示。事实上,有理数 1 2 1 2 1 999 . =0. b n n a a a a a a ?? ?? 0、、 b= n-1a 证明:若[0,1] 所有是属于 N 1 2 1 2 0. 0. 000 n n a a a a ? ? ??、、a 定义 1。 12 定义 具有两个代数运算的代数系统。定义 结合律、结合运算, 交换律交换运算 4 个元素的 5 种结合方法:((a。b)。c)。d (a。b)。(c。b) (a。(b。c))。da。((b。c)。ba。(b。(c。d)) 证明:无论怎么加括号所得结果都等于正常运算结果。即归纳证明,命题正确。即归纳证明, 命题正确。定义 设{A ,?} 是两个运算的代数系统。(3)若a,b,c? A, 有( ) ( ) ( ) a b c a b a c ? ? ?? ??定义 两个代数系统同构例 R 是实数集合是正实数集合。{R ?。?}, {R , +} 是两个代数系统, 求证{R ?。?}与{R , +} 同构高等代数研究 03 本讲主要内容:一、自然数的概念、二、自然数的运算 A ,存在一个数“1”,它不在任何数的后面,即对任何数 1 a a ??, B 。对任意数 a ,存在且仅存在一个它后面的数,即若 a=b ,则 a b ? ?? C .若 a b ? ??则 a=b 。 D。(归纳公理)具有下面性质的自然数