文档介绍：1§ § 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 2 一、函数的连续性 ., ),(,)()( 00 00 的增量称为自变量在点内有定义在设函数 xxxx xUxxUxf???????.)( ),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy????x y0x y0 0xxx?? 0)(xfy?x? 0xxx?? 0x? y? y?)(xfy? 3 , 0xxx???设),()( 0xfxfy???,0 0xxx???就是).()(0 0xfxfy???就是 4 定义 2 设函数)(xf 在)( 0xU ?内有定义, 如果函数)(xf 当0xx?时的极限存在, 且等于它在点0x 处的函数值)( 0xf ,即)()( lim 0 0xfxf xx??那末就称函数)(xf 在点0x 连续.:"" 定义???.)()( ,,0,0 0 0????????????xfxf xx 恒有时使当 5 例1. 0,0,0 ,0, 1 sin )( 处连续在试证函数?????????xx xx xxf 证,0 1 sin lim 0??x x x?,0)0(?f又由定义 )( 处连续在函数?xxf ),0()( lim 0fxf x?? 6 0 0 0 0 0 ( ) ( , ] , ( 0) ( ), ( ) ; f x x x f x f x f x x ??? ?若函数在内有定义且则称在点处左连续定理 0 0 ( ) ( ) . f x x f x x ?函数在处连续函数在处既左连续又右连续 0 0 0 0 0 ( ) [ , ) , ( 0) ( ), ( ) . f x x x f x f x f x x ??? ?若函数在内有定义且则称在点处右连续 7 例2. 0,0,2 ,0,2)( 连续性处的在讨论函数?????????xxx xxxf 解)2( lim )( lim 00??????xxf xx2?),0(f?)2( lim )( lim 00??????xxf xx2??),0(f?右连续但不左连续,.0)( 处不连续在点故函数?xxf 8 ,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)( ,, ,),( 上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间 baxf bxax ba??连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 9 例3.),( sin 内连续在区间函数证明?????xy 证),,( ?????x 任取 xxxy sin ) sin( ?????)2 cos( 2 sin 2 xx x?????,1)2 cos( ??? xx?.2 sin 2 xy ???则,0,时当对任意的???, sin ???有,2 sin 2x xy?????,0?????yx时当.),( sin 都是连续的对任意函数即??????xxy 10 f(x )定义在区间( , ) ????上,, x y 有( ) ( ) ( ) f x y f x f y ? ? ?, 若 f (x) 在连续, 0x?提示: lim ( ) 0 f x x x ???? lim [ ( ) ( )] 0 f x f x x ? ????( ) ( 0) f x f ? ?( 0) f x ? ?( ) f x ?且对任意实数证明 f (x) 对一切 x都连续.