文档介绍：第四章根轨迹法
根轨迹的基本概念
常规根轨迹的规则
广义根轨迹
系统性能的分析
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根轨迹的概念
根轨迹图
,闭环系统特征方程的根(即闭环极点)在S平面上的变化轨迹。它可以指明开环零、极点应怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求等.
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根轨迹与系统性能
有了根轨迹图,:
1)稳定性当开环增益从零变到无穷时,右图中的根轨迹没有进入右半s平面,因此系统对所有K值都是稳定的;
2)稳态性能右图中开环系统在坐标原点有一个极点,系统属I型系统,因而右图根轨迹上的K值代表静态速度误差系数(实际差一个比例常数),如给定系统的稳态误差要求,则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围;
3)动态性能由右图可见,当0<K<,所有闭环极点位于实轴上, 为过阻尼系统,当K=,两实数极点重合,为临界阻尼系统,当K>,闭环极点为复数极点,为欠阻尼系统.
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开环零、极点与闭环零、极点之间的关系
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系统的开环传递函数为
为系统的开环增益,
为开环系统的根轨迹增益,它与K差一个比例常数;
m=f+ l 为开环系统的零点数,
为开环系统的极点数。
则闭环传递函数
注意闭环传递函数中特征方程的阶数为m与n 中的最大者;闭环零点由开环前向通路传函零点和反馈通路传函极点组成.
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根轨迹方程
系统的特征方程为
当系统有m个开环零点和n个开环极点时,特征方程可写成
称为根轨迹方程
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根轨迹方程实质上是一个向量方程,可用模和相角的形式表示
由此可得到满足系统特征方程的幅值条件和相角条件为
幅值条件:
相角条件:
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设系统的开环传递函数为
满足幅值条件的表达式为
满足相角条件的表达式为
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常规根轨迹的绘制法则 绘制常规根轨迹的基本法则
通常,我们把以开环根轨迹增益 K* 为可变参数绘制的根轨迹叫做常规根轨迹(或典型根轨迹、普通根轨迹)。
绘制常规根轨迹的基本规则主要有8条:
规则1 根轨迹的起点和终点
幅值条件可写成
当 K*= 0 时,必须有si=pi(i=1,2…n)
此时,系统的闭环极点与开环极点相同(重合),我们把开环极点称为根轨迹的起点,它对应于开环根轨迹增益 K*= 0 。
当 K*= ∝时,必须有sj =zj (j=1,2…n),此时,系统的闭环极点与开环零点相同(重合),我们把开环零点称为根轨迹的终点,它对应于开环根轨迹增益 K*= ∝。
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结论:根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点( );
如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(称为无限零点),如果开环零点数m大于开环极点数n,则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(称为无限极点)。
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