文档介绍：第四章根轨迹法
1
第一节根轨迹的基本概念
2
开环系统传递函数的某一个参数变化时,闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
例:如图所示二阶系统,
-
特征方程为:
闭环传递函数:
系统开环传递函数为:
特征根为:
根轨迹的基本概念
根轨迹定义
⒈根轨迹定义
3
根轨迹的基本概念
[讨论]:由
根轨迹定义
①当K=0时,s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点
②当K=,s1=-,s2=-
③当K=,s1=-1,s2=-1
④当K=1时,s1=-1+j,s2=-1-j
⑤当K=5时,s1=-1+3j,s2=-1-3j
⑥当K=∞时,s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
画出K从0→∞时所有的闭环极点连成的光滑曲线就是该系统的根轨迹。根轨迹上的箭头表示随着K 值的增加,根轨迹的变化趋势,而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的参数K 的数值。
4
根轨迹的基本概念
根轨迹定义
根轨迹图直观全面地描述了参数K 对闭环特征根分布的影响。可据此分析系统性能。
稳定性:当K从0→∞时根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面,因此该系统当K>0都是稳定的。
稳态性能:开环系统在原点有一个极点,所以系统属于Ⅰ型系统,根轨迹上的K 值就是以该点为闭环极点时系统的速度误差系数。
动态性能:当0<K<,系统为过阻尼系统,单位阶跃响应为非周期过程;
当K=,系统为临界阻尼系统,单位阶跃响应为非周期过程;但响应速度较过阻尼情况为快;
当K>,系统为欠阻尼系统,单位阶跃响应为阻尼振荡过程,且超调量将随K 值的增大而增大,但调节时间的变化不会显著。
5
根轨迹的基本概念
根轨迹方程
对如下结构图的系统:
-
闭环传递函数为:
2 根轨迹方程
令闭环传递函数的分母为零,得闭环系统的特征方程
若用开环传递函数来讨论,则满足的点就是闭环系统特征方程的根。也就是说满足的s值必定是根轨迹上的点,故称为根轨迹方程。若令
6
根轨迹的基本概念
根轨迹方程
式中,-zi、-pj为已知的开环零极点;Kg从零变到无穷。
7
根轨迹的基本概念
根轨迹的幅值和相角条件
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
根据上述两个条件,可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的Kg值。应当指出,相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。这就是说,绘制根轨迹时,只需要使用相角条件;而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时,才使用幅值条件。
其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减去极点到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍,因此也称满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹。
8
根轨迹的基本概念
根轨迹的幅值和相角条件
例:如图所示二阶系统,
-
闭环传递函数:
特征方程为:
特征根为:
采用试探法可以确定根轨迹上的点。
在实际绘制根轨迹时不采用试探法。而是应用以根轨迹方程为基础建立起来的绘制根轨迹的基本法则。
9
第二节根轨迹绘制的基本准则
10