文档介绍：1信息系罗捍东正项级数收敛的充要条件是部分和数列有上界。若级数????1n nu 则称之为正项级数. ,),2,1(0???nu n第二节第二节正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别????1n nu定理定理 : : ?? nS证: “必要性”若部分和数列有上界, 从而正项级数收敛。 lim nnS ??存在, 由单调有界定理可知极限?? nS 满足 1 nnu ??? 2信息系罗捍东有界, 从而有上界。“充分性”若收敛, 则存在, lim nnS ?? nS 下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法。 1 nnu ???由极限存在准则知, nS注意: 正项级数任意加括号, 不影响其敛散性。 3信息系罗捍东设两个正项级数定理定理 : :(比较判别法)的对应项满足: 1 1 n n n n u v ? ?? ?? ?及( 1, 2, , 0) n n u cv n c ? ? ??则(1) 当级数也收敛; 收敛时, 级数 1 nnv ??? 1 nnu ???(2) 当级数 1 nnu ???发散时, 级数 1 nnv ???也发散。大的收敛则小的收敛,小的发散则大的发散。 4信息系罗捍东, 1??? nk knuS , 1??? nk knvT证: (1) 记,, 1有界则部分和收敛若 n n nT v????, 1也有界的部分和从而 n n nSu????. 1收敛故级数????n nu ( 1, 2, , 0) n n u cv n c ? ? ?? ? 1 2 1 2 ( ) n n n n S u u u c v v v cT ? ????????? ?于是 5信息系罗捍东注意: 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故定理中的不等式不一定从首项就开始满足。注意: 当级数 1 nnv ???发散时, 1 nnu ??? 21 1 1 1 1 , ( 1) n n n n n n ??? ???例如但发散, 11 ( 1) n n n ????发散。收敛。不一定有级数而 6信息系罗捍东级数是否收敛? ????? 112 1 n n且有 nn2 112 1??(n=1, 2, …) 而级数收敛。解: 显然该级数为正项级数, 例1:????12 1 n n所以级数收敛。????? 112 1 n n 7信息系罗捍东判断级数????13 sin 2 n n nx 的敛散性. (0< x <?) 由于,3 23 23 sin 20x xx nn nn n?????????又,3 23 2 1 1????????????????????? n n n nxx解: 例2: 因为级数收敛。所以级数收敛。?????????? 13 2 n n????13 sin 2 n n nx 8信息系罗捍东讨论 P级数????11 n pn (p > 0 ) 的敛散性. 当p=1时,P级数为调和级数:, 1 1????nn <p < 1 时, 有, 110 pn n ??由比较判别法, P 级数此时是发散的. 解:.,1级数是发散的时故Pp?例3:9信息系罗捍东当p >1 时, 按1, 2, 2 2, 2 3, …, 2 n, …项7 15 14 13 12 11 1 1??????????????????????? pppppn pn ?而 12 12 12 13 12 1 ????????????????? ppppp 对P级数加括号, 不影响其敛散性: ????????????? ppp15 19 18 1 10信息系罗捍东?????????? pppp4 14 14 14 1????????? p pp7 15 14 1?????????? p pp15 19 18 1??????????? ppp8 18 18 1?…………………………………… 2112 14 1??????????pp3112 18 1??????????pp