文档介绍：相同
相反
奇函数
偶函数
奇函数
联动体验
1．对任意实数x，下列函数为偶函数的是( )
A．y＝2x－3 B．y＝sin x
C．y＝ln 5x相同
相反
奇函数
偶函数
奇函数
联动体验
1．对任意实数x，下列函数为偶函数的是( )
A．y＝2x－3 B．y＝sin x
C．y＝ln 5x D．y＝|x|cos x
解析：A为非奇非偶函数，B、C为奇函数，D为偶函数，
设y＝f(x)＝ln 5x＝xln 5∴f(－x)＝－xln 5＝－f(x)
设y＝g(x)＝|x|cos x，∴g(－x)＝|－x|cos(－x)＝|x|cos x＝f(x)．
答案：D
存在一个最小
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：由f(x＋4)＝f(x)知函数y＝f(x)的周期为4，
∴f(8)＝f(4×2)＝f(0)，又f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0.
答案：B
4．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，
∴当a＝1时，函数y ＝(x＋1)(x－a)为偶函数．
答案：C
(2)(3)
(－1,0)∪(1，＋∞)
B
A
D
B
考向四 抽象函数的奇偶性和单调性问题
【例4】 定义在R上的函数f(x)满足：①对任意实数x，y∈R有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0且f(1)＝－2.
(1)求证f(0)＝0；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)判断函数f(x)的单调性；
(4)解不等式f(x2－2x)－f(x)≥－8.
解：(1)证明：依题意，令x＝0、y＝0得
f(0＋0)＝f(0)＋f(0)．即2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
(2)∵f(x)的定义域是R.
∴令y＝－x代入f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得
f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)
∵当x＞0时，f(x)＜0，而x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0，
∴f(x2)－f(x1)＜(x2)＜f(x1)．
∴f(x)是R上的减函数．
(4)∵f(1)＝－2，∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝－4，
∴f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)＝－8. 而f(x2－2x)－f(x)≥－8.
可化为f(x2－2x)≥f(x)＋f(4)＝f(x＋4)．
由f(x)是R上减函数，故x2－2x≤x＋4.
即x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4.
∴不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．
反思感悟：善于总结，养成****惯
抽象函数奇偶性的判断关键是合理赋值，从而找到f(x)与f(－x)的关系，由
定义做出判断，抽象函数不等式的求解，一般通过单调性或奇偶性转化为一般不等式进行求解．
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