文档介绍：3高斯公式与斯托克
斯公式
第二十二章曲面积分
§ 3高斯公式与斯托克斯公式
授课章节：ch22---8高斯公式与斯托克斯公式(P290--297)
教学目的：1)掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用
教学重点: Record If...?
?Skip Record If...?|
若高斯公式中P=x,Q=y,R=z,则有
?Skip Record If...?
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式
?Skip Record If...?
二斯托克斯公式
斯托克斯(Stokess)公式是建立沿空
图22-7
间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L 的积分之间的联系。
在讲下述定理之前，先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进
的方向为边界线L的正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如图22—7所示。
。若函数 P、Q、
R在S (连同L)上连续，且有一阶连续偏导数，则
?Skip Record If...?(2)
其中S的侧与L的方向按右手法则确定。
证先证
?Skip Record If...?(3)
其中曲面S由方程？Skip Record If...?确定，它的正侧法线方向数为？Skip Record
If...?,方向余弦为？Skip Record If...?,所以
?Skip Record If...?
若S在xy平面上投影区域为？Skip Record If...?, L在xy平面上的投影曲线
记为？Skip Record If...?。现由第二型曲线积分定义及格林公式有
?Skip Record If...?
因为
?Skip Record If...?
所以
?Skip Record If...?
由于？Skip Record If…？。从而
?Skip Record If...?
综合上述结果，使得所要证明的（3）式。
同样对于曲面S表示为？Skip Record If...?和？Skip Record If...?时，可证得
?Skip Record If...?（4）
和
?Skip Record If...?（5）
将（3）、（4）、（5）三式相加即得（2）式。
如果曲面S不能以？Skip Record If...?的形式给出，则可用一些光滑曲线把S
分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时（2）式也能成
立。I
公式（2）称为斯托克斯公式。
为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：
?Skip Record If...?
例2计算
?Skip Record If...?
其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向（图22-
8）。
解应用斯托克斯公式推得
?Skip Record If...?
由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路
线无关的条件.
区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过
V以外的点而连续收缩于属于
V的