文档介绍：第4章柯西- 黎曼积分及其应用和推广与牛顿- 莱布尼茨积分不同,柯西- 黎曼积分是建立在近代极限理论的基础上。由于本篇中暂时避开了近代极限理论,所以我们也只能用“无限接近”的说法来定义柯西- 黎曼积分。同样,关于柯西- 黎曼积分的性质,我们也只能用几何图形来说明。§4-1 柯西- 黎曼积分的定义及其性质 1. 柯西- 黎曼积分的定义设函数)(xf 定义在区间[ , ] a b 上. 首先用分点: 0 1 2 1 1 i i n n a x x x x x x x b ? ?? ?????????? ?把区间[ , ] a b 划分成 n 个小区间,并用 nx?表示最大小区间的长度. 柯西在 19 世纪初,建议把函数)(xf 在区间],[ba 上的积分定义为“极限” 1 1 01 lim ( )( ) ( )d n i nb i i i xai f x x x f x x ?? ?? ??? ???(图 4-1 ) 【注意】不能把其中的 0 nx ? ?改写为 n ??,因为 n ??时不一定有 0 nx ? ?. 后来, 德国数学家黎曼(Riemann , 18 26─ 1866 ) 又把柯西关于积分的定义做了修改. 现在, 国内多数教科书中都采用黎曼关于积分的下述定义(图 4-2) : 设函数)(xf 定义在有限( 开、闭或半开半闭) 区间ba, 上. 第一步,用任意划分方法( 记为 P ) 把区间, a b 划分成 n 个小区间: yx i -1x i图 4-1 Oax 1x n -1bx ( ) y f x ? 1 ( ) i f x ? A B 图 4-2 y ( ) y f x ? x n -1bx x i -1x iOax 1i?( ) if?§ 4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质 143 143 0 1 2 1 1 i i n n a x x x x x x x b ? ?? ?????????? ?第二步,在每一个小区间上都任意取一点,如在第 i 个小区间],[ 1iixx ?上取的那一点记为i?,做出积分和 1 2 1 (P; , , , ) ( ) i n n n n i i i f x ? ???????? ???? 1 ( ) i i i x x x ?? ??第三步,让所有小区间都无限变小,即让最大小区间的长度 0 nx ? ?,若有极限 01 lim ( ) n i n i i xi f x ? ??? ??? ??而且与区间的划分方法 P 和每一个小区间上那一点(1 ) i i n ?? ?的选取方法都无关, 则称函数( ) f x 在区间, a b 上可积分( 简称可积) ,并称极限值 01 lim ( ) ( )d n i n b i