文档介绍：考研数学一真题及详解
考研数学一真题及详解
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2０１1考研数学一真题试卷
一选择题
1。曲线拐点
A（1,0) B(2，０） C（3,０） D(4,0）
2。设数列单调递减,无界，则幂级数的收敛域【解析】由于
可知
故应选（B)
9【答案】 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可.
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【解析】
１0【答案】【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解,再根据定解条件，确定通解中的任意常数.
【解析】原方程的通解为
由,得，故所求解为
11【答案】【考点分析】本题考查偏导数的计算。
【解析】。故。
12【答案】【考点分析】，再代入相应的计算公式计算即可。
【解析】曲线的参数方程为，
１３【答案】【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出。
【解析】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知,该二次型的特征值为。
该二次型的矩阵为,可知，因此。
14【答案】【考点分析】:本题考查二维正态分布的性质。
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【解析】:由于，由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。
由于服从，可知,则
。
１5【答案】【考点分析】:本题考查极限的计算，属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。
【解析】：
16【答案】【考点分析】:本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件,主要考查考生的计算能力，计算量较大.
【解析】：
由于在处取得极值,可知。
故
１7【答案】时,方程只有一个实根
时，方程有两个实根
【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时,首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。
【解析】：令,则,,
当时，,在单调递减,故此时的图像与轴与只有一个交点，也即方程只有一个实根
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时,在和上都有，所以在和是严格的单调递减,又,故的图像在和与轴均无交点
时,时,，在上单调增加，又知，在上只有一个实根,又或都有，在或都单调减，又,,所以在与轴无交点,在上与轴有一个交点
综上所述:时,方程只有一个实根
时，方程有两个实根
１８【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（１）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式,再利用单调性进行证明；(２)证明收敛性时要用到单调有界收敛定理,注意应用(１）的结论.
【解析】：（１）令，则原不等式可化为。
先证明：
令。由于，，因此当时,.也即。
再证明:
令。由于，可知在上单调递增。由于，因此当时，。也即。
因此，，即可得到所需证明的不等式.
（２),由不等式可知：数列单调递减.
又由不等式可知:
。
因此数列是有界的。故由单调有界收敛定理可知:数列收敛.
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1９【答案】：【考点分析】：，出题形式较为新颖，有一定的难度．
【解析】:将二重积分转化为累次积分可得
首先考虑，注意这是是把变量看做常数的，故有
由易知.
故。
对该积分交换积分次序可得:
再考虑积分，注意这里是把变量看做常数的,故有
因此
２0【答案】：①；②
【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念,解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来.
【解析】：① 由于不能由表示
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可知，解得
②本题等价于求三阶矩阵使得
可知
计算可得
因此
２1【答案】：（1)的特征值分别为1，-１,0，对应的特征向量分别为，,
（2）
【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。
【解析】：（１）
可知：１,－1均为的特征值,与分别为它们的特征向量
，可知0也是的特征值
而