文档介绍：一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?x yox yo 1x 2x )(xfy?图形上任意弧段位于所张弦的上方 x yo )(xfy? 1x 2x 图形上任意弧段位于所张弦的下方 A B C 第六节曲线的凹凸与拐点定义;),()( ,2 )()()2 (,, ),(,),()( 212121 内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设baxf xfxfxxfxx babaxf???;),()( ,2 )()()2 ( ,,),( 2121 21 内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对 baxf xfxfxxf xxba???;)(],[)(,)( ),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果 baxf babaxf 二、曲线凹凸的判定 x yo )(xfy?x yo )(xfy?ab A B 递增)(xf ? ab BA0???y 递减)(xf ?0???y 定理 1.],[)(,0)()2( ;],[)(,0)()1( ),(, ),(,],[)( 上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果 baxfxf baxfxf ba babaxf??????例1. 3 的凹凸性判断曲线 xy?解,3 2xy???,6xy???时, 当0?x ,0???y 为凸的; 在曲线]0,( ???时, 当0?x ,0???y 为凹的; 在曲线),0[ ???.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到, 三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果)(xf 在),( 00????xx 内存在二阶导数, 则点??)(, 00xfx 是拐点的必要条件是0)( 0 "?xf . :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. ,)( 二阶可导 xf?,)( 存在且连续 xf ??,])([)( 0 两边变号在则xxfxf ?????,))(,( 00 是拐点又xfx?,)( 0 取得极值在xxf ??, )(????xf 方法 1:,0)( ,)( 0 0???xf xxf且的邻域内二阶可导在设函数; ))(,(,)()1( 00 0 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??. ))(,(,)()2( 00 0 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??例2. 143 34 凹、凸的区间的拐点及求曲线???xxy 解),(: ???? D?,12 12 23xxy???).3 2(36????xxy,0??? 2,0 21??xx得 x)0,( ??),3 2( ??)3 2,0( 03 2)(xf ??)(xf ???00 凹的凸的凹的拐点拐点)1,0( )27 11 ,3 2( ).,3 2[ ],3 2,0[ ],0,( ????凹凸区间为方法 2:.)( ))(,(,0)(,0)( ,)( 0000 0 的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数 xfy xfxxfxf xxf????????例3.)]2,0 ([ cos sin 的拐点内求曲线???xxy 解, sin cos xxy???, cos sin xxy?????. sin cos xxy??????,0??? 7,4 3 21????xx得2)4 3(?????f ,0? 2)4 7(??????f ,0?内曲线有拐点为在]2,0[??).0,4 7( ),0,4 3( ??.)( ))(,(,)( 000 的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfy xfxxf???注意: