文档介绍：1 1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一) 试卷一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3分, 满分 15分. 把答案填在题中横线上) (1) 当x =_____________ 时, 函数2 x y x ? ?取得极小值. (2) 由曲线 ln y x ?与两直线 e 1 y x ? ??及0y?所围成的平面图形的面积是_____________. 1x?(3) 与两直线 1 y t ???及 1 2 1 1 1 1 x y z ? ??? ?都平行且过原点的平面方程为_____________. 2 z t ? ?(4) 设L 为取正向的圆周 2 2 9, x y ? ?则曲线积分 2 (2 2 ) ( 4 ) L xy y dx x x dy ? ????= _____________. (5) 已知三维向量空间的基底为 1 2 3 (1,1, 0), (1, 0,1), (0,1,1), ? ??ααα则向量(2, 0, 0) ?β在此基底下的坐标是_____________. 二、( 本题满分 8分) 求正的常数 a 与,b 使等式 22001 lim 1 sin xxt dt bx x a t ?????成立. 三、( 本题满分 7分) (1) 设f 、g 为连续可微函数, ( , ), ( ), u f x xy v g x xy ? ??求, . u v x x ? ?? ?(2) 设矩阵 A 和B 满足关系式 2 , ? AB = A B 其中 3 0 1 1 1 0 , 0 1 4 ? ?? ??? ?? ?? ? A 四、( 本题满分 8分) 求微分方程 2 6 (9 ) 1 y y a y ??? ?? ?? ???的通解, 其中常数 ?五、选择题( 本题共 4 小题, 每小题 3分, 满分 12分. 每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设2 ( ) ( ) lim 1, ( ) x a f x f a x a ?????则在 x a ?处(A) ( ) f x 的导数存在,且( ) 0 f a ??(B) ( ) f x 取得极大值(C) ( ) f x 取得极小值(D) ( ) f x 的导数不存在(2) 设( ) f x 为已知连续函数 0 , ( ) , st I t f tx dx ??其中 0, 0, t s ? ?则I 的值(A) 依赖于 s 和t (B) 依赖于 s 、t 和x (C) 依赖于 t 、x , 不依赖于 s (D) 依赖于 s , 不依赖于 t (3) 设常数 0,k?则级数 21 ( 1) nn k n n ?????(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 散敛性与 k 的取值有关(4) 设A 为n 阶方阵,且 A 的行列式| | 0, a ? ? A 而*A 是A 的伴随矩阵,则* | | A 等于(A)a (B)1a (C) 1na ?(D) na 六、(本题满分 10 分) 求幂级数 1112 nnnxn ?????的收敛域,并求其和函数. 七、(本题满分 10 分) 求曲面积分 2 (8 1) 2(1 ) 4 , I x y dydz y dzdx yzdxdy ?? ??????其中?是由曲线 1 1 3 ( )0 z y y f x x ?? ?????????绕y 轴旋转一周而成的曲面, 其法向量与 y ? 2 八、(本题满分 10 分) 设函数( ) f x 在闭区间[0,1] 上可微, 对于[0,1] 上的每一个,x 函数( ) f x 的值都在开区间(0,1) 内,且( ) f x ?? 1, 证明在(0,1) 内有且仅有一个,x 使得( ) . f x x ?九、(本题满分 8 分) 问, a b 为何值时, 现线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2