文档介绍：1****题课****题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数四、函数的幂级数一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、幂级数收敛域的求法二、幂级数收敛域的求法第十一章 2 已知级数已知级数 1 nnu ???的前的前 n n 项和项和通项通项 u u n n= = . .? nS 则级数的则级数的解解nu? 2 1 nn ?? 2 4 1 n ?? 21 4 1 n ?? 21 4 1 n?例例1 1. . nS 1 2 1 nn ??? 22 n n ? 2 2 1 n n ? ???? 1nS ?, 2 1 nn 3 例例2. 1 nnu ???收敛, 收敛, 21 ( ) nn B u ??? 1 ( 1) ( ) nnn A u n ???? 2 1 2 1 ( ) ( ) n n n C u u ????? 11 ( ) ( ) n n n D u u ?????解解∵∵1 1 1 n n n n u u ? ??? ?? ?和均收敛, 均收敛, 收敛。收敛。 11 ( ) n n n u u ???? ?? D 则必收敛的级数为( 则必收敛的级数为( ) ) 4 例例3. , 收敛, 1 nna ???则( 则( ) ) 收敛, 收敛, 1 ( ) nn A a ???收敛, 收敛, 1 ( ) ( 1) nnn B a ????收敛, 收敛, 11 ( ) n n n C a a ????收敛。收敛。 11 ( ) 2 n n n a a D ?????解解∵∵12 nna ???均收敛, 均收敛, 收敛收敛. .112 n n n a a ?????? D 112 nna ????和 11 ( 1) nnn ????收敛收敛, ,11 nn ???发散发散, , 11 ( 1) nnn ???? 11 ( 1) 1 nn ?? ?? 11 ( 1) n n n ??????发散发散, , 5 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法 1. 1. 2. 2. 正项正项级数审敛法级数审敛法必要条件必要条件 nu 不满足不满足发散发散满足满足比值比值审敛法审敛法 1nu ?nu ??根值根值审敛法审敛法 1??收收敛敛发发散散1??不定不定比较比较审敛法审敛法用它法判别用它法判别积分积分判别法判别法部分和部分和极限极限 1??利用部分和数列的极限利用部分和数列的极限判别判别级数的敛散性级数的敛散性 0? nu n lim n ???? lim n ?? lim n ?? 6 设设(1) (1) 若若则则(2) (2) 若若则则收收敛敛, ,也收也收敛敛; ; 发发散散, , 也发也发散散. . nu0?比较比较判别判别法法 1n ??? nu 1n ??? nu 1n ??? 1n ??? 0, nu?设设且且 nu lim n ?? nv l?极限形式极限形式收收敛敛, , 若若则则也收也收敛敛. .发发散散, , 若若则则也发也发散散. . 当当l 时时, ,0??? 0, nv? 1n ??? nu 1n ??? 1n ??? nu 1n ??? nv? nv nv nv nv 7 3. 3. 一般项级数审敛法一般项级数审敛法收敛收敛 1 nnu ??? Leibniz Leibniz 判别法判别法: :nu 且且则交错级数则交错级数收敛收敛, , 设级数设级数若若 nu 收敛收敛, ,绝对绝对收敛收敛; ; 则称则称 1n ???若若 nu 发散发散, ,条件条件收敛收敛; ; 则称则称 1n ??? nu 1 ( 1) n?? 1n ???若若1nu ?? 0 ,? nu 0? lim n ?? nu 1n ??? nu 1n ??? 8 例例4. a a > 0 > 0 , ,111 nna ????的敛散性。的敛散性。解解当当 0 1 , a ? ? n ??时, 时, 0 , na? 1?∴∴级数发散。级数发散。当当1a?时, 时, 1 1 1 2 na ??级数发散。级数发散。当当1a?时, 时,11 na?∵∵1 ( ) na 收敛, 收敛, 11 na