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专题限时集训(二十二) 排列组合、二项式定理
A组 高考题、模拟题重组练]
一、排列、组合
1．(2021·全国甲卷)如图22­1，小明从街道E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处老年公寓参加志愿者活动，那么小28种
C．32种 D．36种
B 法一：五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即C；这名同学分到两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说与一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一种情况下有C种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集)，在第二种情况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说)，在第三种情况下有C种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说)，这样第二步骤共有情况数是C＋1＋C＝7，故此题答案是7C＝28，选B.
法二：将3本一样小说记为a，a，a；2本一样诗集记为b，b，将问题分成3种情况，分别是①aa，a，b，b，此种情况有A＝12种；②bb，a，a，a，此种情况有C＝4种；③ab，a，a，b，此种情况有A＝12种，总共有28种，应选B.]
二、二项式定理
8．(2021 ·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5展开式中，x5y2系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
C 法一：(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5，
含y2项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2系数为CC＝.
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法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2系数为CCC＝.]
9．(2021·全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式二项式系数最大值为a，(x＋y)2m＋＝7b，那么m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
B (x＋y)2m展开式中二项式系数最大值为C，
∴a＝C.
同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.
∴13·＝7·.
∴m＝6.]
10．(2021·全国卷Ⅱ)(1＋ax)(1＋x)5展开式中x2系数为5，那么a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
D (1＋x)5中含有x与x2项为T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，∴x2系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，应选D.]
11．(2021·全国乙卷)(2x＋)5展开式中，x3系数是________．(用数字填写答案)
10 (2x＋)5展开式通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·x5－.
令5－＝3，得r＝4.
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故x3系数为25－4·C＝2C＝10.]
12．(2021·山东高考)假设5展开式中x5系数是－80，那么实数a＝________.
－2 Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rx10－－r＝5，解得rx5系数为－80，那么有C·a3＝－80，解得a＝－2.]
13．(2021 ·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4展开式中x奇数次幂项系数之与为32，那么a＝________.
3 设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]
14．(2021·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7系数为________．(用数字填写答案)
－20 x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，
∴x2y7系数为C－C＝8－28＝－20.]
15．(2021·正定一模)对任意实数x，有(m＋x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，假设a1＋a3＋a5＋a7＝32，那么m＝________.
【导学号：85952084】
0 设(1＋x)6＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b6x6，那么a1＝b0＋mb1，a3＝b2＋mb3，a5＝b4＋mb5，a7＝b6，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝(b0＋b2＋b4＋b6)＋m(b1＋b3＋b5)，又由二项式定理知
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b0＋b2＋b4＋b6＝b1＋b3＋b5＝(1＋1)6＝32，所以32＋32m＝32，m＝0.]
B组 “12＋4〞模拟题提速练]
一、选择题