文档介绍：学习张量必看一个文档学会张量张量分析
第1页，共117页，编辑于2022年，星期五
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程
张量代数，商法，星期五
自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。
例如：表达式
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
张量基本概念
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同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。
自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。
i 换成k
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张量基本概念
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指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
可简写成：
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分：
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张量基本概念
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可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。
例如：
若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：
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张量基本概念
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一般说不能由等式
两边消去ai导得
但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。
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张量基本概念
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小结
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。
一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项中若同时出现 m 对取值范围为1～n 的哑指标，则此项含相互迭加的 n m 个项。
张量基本概念
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目 录
Appendix A
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程
张量代数，商法则
常用特殊张量，主方向与主分量
张量函数及其微积分
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符号ij 与erst
ij 符号 (Kronecker delta)
定义(笛卡尔坐标系)
(i, j=1, 2, …, n)
特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
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3. 换标符号，具有换标作用。例如：
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而 自动消失。
符号ij 与erst
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类似地有
符号ij 与erst
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erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
当r, s, t为正序排列时
当r, s, t为逆序排列时
当r, s, t中两个指标值相同时
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
或
符号ij 与erst
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特性
共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0
对其任何两个指标都是反对称的，即
当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变
符号ij 与erst
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常用实例
三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：
每个基矢量的模为1，即ei ej＝1 (当i＝j时)
不同基矢量互相正交，即ei ej＝0 (当i≠j时)
上述两个性质可以用ij 表示统一形式：
ei ej＝ ij
符号ij 与erst
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当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有
而对于左手系