文档介绍：高中数学题库高一部分B函数幂函数
高中数学题库高一部分B函数幂函数
高中数学题库高一部分B函数幂函数
若函数对定义域中任一均满足,则函数的图像关于点对称。
（1）已知函数的图像关于点对称，求实数的值；
（2)已知函数在上的图像关于则要满足，
由于当且仅当时,有中的等号成立，且此时恰为最大值,
∴，
又在上是增函数,在上是减函数，∴，
综上，得 。
来源:08年高考探索性专题
题型:解答题，难度:较难
求方程｜x—1｜=的正根的个数.
答案：
x
yx
1
1x
分别画出y=｜x－1｜和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。
高中数学题库高一部分B函数幂函数
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来源：0８年数学竞赛专题三
题型:解答题，难度：容易
已知定义域为[0 , １]的函数f （x）同时满足以下三条:①对任意的x∈[0 ， 1］，总有
f (x)≥0；②f （1) =１;③若x1≥０，ｘ2≥0，ｘ1 + ｘ2≤1，则有f （ｘ１ + x2） ≥ ｆ (ｘ1) ＋ f （x2）:
（１)求f (0)的值;
（２）函数g（x） = ２x – １在区间[0 ， 1］上是否同时满足①②③?并予以证明;
（3）【理科】假定存在x0∈[0 , １］，使得ｆ （x0)∈［0 , 1］且ｆ ［f (x0)] = ｘ０，
求证：f （ｘ０) = x0。
答案：
(１）取x1 = x2 ＝ 0 得 f (0)≥f （0）＋ f （０） ∴ f (0)≤０
又由①f （0）≥0 ∴ f (0） = 0ﻩﻩ…………………… 理４分(文5分)
（２）显然g（x） = ２x – １在[０ , 1］上满足①ｇ (x)≥0；满足②ｇ(１） =1。
若x1≥０，ｘ2≥0，ｘ1 + ｘ２≤1,则
g （x１ + x２) – ［ ｇ（x１） + ｇ(x２) ］ = 2 ｘ1 + ｘ2 – 1– [２ ｘ1 – 1 + ２ x2 – 1]
高中数学题库高一部分B函数幂函数
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= ２ x１ ＋ x２ – ２ x１ – 2 x２ +1
= (2 ｘ１ – 1） （2 x１ – １)≥０
∴g（x)适合①②③ ﻩ ﻩﻩ…………………… 理８分（文12分）
(3）【理】设m、n∈［０ ， 1]，且ｍ 〈 n，则n – ｍ∈［０ , 1］
∴f （ｎ) ＝ ｆ (ｎ – m ＋ ｍ） ≥ f （ｎ – ｍ) ＋ f （ｍ） ≥ｆ （m)
若ｘ０ ＜ ｆ （ｘ0）,则f (ｘ０） ≤ f [ｆ (ｘ0）］ = ｘ0 ,矛盾；
若x0 > f （x0)，则f (x0） ≥ f [f （x0）] ＝ x０ ，矛盾.
故x0 ＝ ｆ （ｘ0） ﻩﻩ ﻩﻩ ………………………… 理12分
来源：０6年黄石鄂高统考
题型:解答题,难度:较难
已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（１)=3；②f（x)≥2恒成立；③若ｘ１≥０,x２≥０，x1+x2≤１，则有f(ｘ1+x2）≥f（ｘ1)+f(x2）—２。
(１)试求函数f（x)的最大值和最小值;
（２）试比较ｆ（ｎ)与n+2的大小(n∈Ｎ）；
（3)某人发现:当ｘ=(）ｎ （ｎ∈N）时,有f（ｘ)＜2ｘ+２。由此他提出猜想：对一切x∈(0,１］，都有f(x）〈2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由。
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答案：
(1)设0≤x1<ｘ2≤１,则必存在实数t∈（0，1），使得ｘ2＝ｘ1+ｔ，
由条件③得,ｆ(x2）=ｆ（x１+t)≥f(x１）+f(t）－2，
∴ｆ（ｘ２)—ｆ（ｘ１）≥f(t）—2，由条件②得,ｆ（x2)－f(ｘ1）≥０，故当0≤x≤1时，有f（０）≤f（x)≤f（１）．
又在条件③中，令x１=0，ｘ２=１，得f（1）≥f(1）+f(０）—2,即f（0)≤２,∴ｆ（0)=２，故函数ｆ（x）的最大值为3,最小值为2.
（2）在条件③中，令x1=x2=，得ｆ（）≥2f(ｎ)-2,即f(）—2≤[f()-2］,
故当ｎ∈N＊时,有f（)—2≤[ｆ（）-2］≤［f(）—２］≤…≤[ｆ（）—2］= ,
即f（）≤+2．
又f（）=f(１）＝３≤2+，
所以对一切ｎ∈N，都有ｆ（）≤+2．
（3）对一切ｘ∈（０,１），都有f(x）<2x+