文档介绍：矢量函数在矢量代数中所涉及的矢量都是大小和方向保持不变(注:零矢量的方向为任意的。但在矢量分析中仍将其作为一特殊的常矢量)的常矢量。一旦矢量的大小或方向(或大小和方向)随某一参数的不同取值(这里的参数取为实数)而变化时,这样的矢量称为变矢量。由此引入矢量函数的概念。设t是实变参数, x是变矢量。如果 t在确定的实数域中的每一个值,都有确定变矢量 x按确定的法则与之对应。则 x与 t的对应法则: x = x ( t ) ( -1 ) 称为矢量函数。或称为 x为实数自变量的矢量值函数。实数自变量的取值域(实数域)称为定义域。与定义域的每一个取值对应的矢量函数值集合称为矢量函数的值域。 v 1 v 1v b v bv a v av 0 v 0s 1bas 0o sx 1 x 2i 1i 2图2-9 矢量函数与实变函数论中的函数一个重要的区别是: 实变函数的每一个自变量的取值对应着唯一函数值;矢量的每一个自变量的取值对应着唯一的按平行性确定的自由矢量类(自变量的每一个取值对应着具有唯一大小和方向的所有相互平行的自由矢量)。正是由于矢量函数的这一特点使得矢量函数x(t)的变化状态能够用几何图形表示。如质点在平面上沿曲线 s以大小 0v?v度沿曲线 s的切线方向从 s 0 运动至 s 1(见图 2-9)。以时间 t作为参数。质点的速度矢量作为时间 t的函数为的速)(tvv?图2-9给出了 0 t t ? 0 1 , , , a b t t t t t t t t ? ???时的 0 1 , , , a b v v v v 四个矢量。于这四个矢量都是自由矢量,且 0 1 0 v ? ??? a b v v v v 个矢量的起点按平行性移至 o点。显然这四个位置矢量描述了。将这四 0 1 , , , a b t t t t t t t t ? ???四个时刻的速度矢量。由当参数 t由t 0到t 1连续变化时, v(t)的每一个取值所对应(按平行性)位置矢量的终点在 x 1o x 2平面内描绘一条曲线——矢端曲线。矢端曲线也称为矢量函数的图形。更一般地有:对矢量函数 x(t)的终点所描绘的曲线称为矢端曲线或称为 x(t)的图形。而( -1 )式称为矢量方程。例12: 已知小球在四分之一圆弧轨道中运动。圆弧轨道半径 R=50cm ,小球运动速度的大小 o x 2x 1v(φ)φφ图2-10 1 cos ( ) 4 m/s ??。试求小球速度矢量方程;并在图解: 2 1 2 1 2 ( ) cos sin ( ) ( cos ) ; 0 / 2 ? ????? ????? ???? ? ?? v v i v i i i 0 : ; 15 : m/s m/s ? ?? ? ? ??? v v 30 : ; 45 : m/s m/s ? ?? ? ? ??? v v 60 : ; 75 : m/s m/s ? ?? ?? ??? v v 90 : m/s ?? ? ? v 以上各φ值对应的 v,将起点移至(按平行性) o点所得矢端曲线如图所示。?v 中画出小球速度的矢端曲线。给定的标准正交坐标系{o;i 1,i 2,i 3}: 位置矢量 r处的自由矢量 x在A点基底 i 1,i 2上的坐标与将 x 平移至 o点的矢量的坐标相同。当x是某一参数 t的矢量函数时,对任意给定的 t值, x(t)就是{o;i1,i 2,i 3}坐标系中的确定自由矢量。且: iitxtxtxtxtiiiix)()()()()( 332211????( -2 ) 式中 x 1(t ), x 2(t ),x 3(t)是参数 t取给定值时 x(t)自由矢量在基底i 1,i 2,i 3上的坐标。图 2-11给出二维矢量空间的示意。 o r x