文档介绍：实用标准
临沂市高三二轮会材料
函数导数中的恒成立问题解题技巧
个交点，当且仅当 f 3 b f 1
因此， b 的取值范围为 32ln2 21,16ln2 9 ．
【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一， 在有关取值范围问题、
单调性问题、最值问题中体现较明显， 同时方程的根及函数零点也可转化为交点
问题解决 .
三、分离参数解决恒成立问题
例 3
已知函数 f ( x)
ln x
a ，
x
当 a 0 时，判断 f (x) 在定义域上的单调性；
(2) 若 f ( x) x2 在 (1, ) 上恒成立，求 a 的取值范围．
【方法指导】（ 1）通过判断导数的符号解决； （2）由于参数 a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．
解： (1) 由题意： f ( x) 的定义域为 (0,
) ，且 f (x)
1
a
x
a
．
x
x
2
x
2
a
0, f
(x)
0 ，故 f ( x) 在 (0,
) 上是单调递增函数．
(2)
f ( x)
x2 ,
ln x
a
x2 .又 x
0, a
x ln x
x3
x
令 g (x) x ln x x3 ,h( x) g ( x) 1 ln x 3x2 , h (x)
1
6x
1 6x2
，
x
x
h(x) 在 [1,
) 上是减函数， h( x) h(1)
2 ，即 g ( x)
0 ，
g( x) 在 [1,
) 上也是减函数，
g ( x) g(1)
1 ．
令 a
1 得 a
g( x) ，
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∴当 f (x) x2 在 (1, ) 恒成立时， a 的取值范围是 a a
1
．
【方法点评】 分离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，
分离参数后， 构造
新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值范围.
四、利用两个函数的最值解决恒成立问题
例 4 [2014
·新课标全国卷Ⅰ
]
设函数 f
x
＝a x
x＋
bex －1
，曲线 y＝f
x
)
( )
e ln
x
(
在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 y＝e( x－ 1) ＋2.
求 a，b；
证明： f ( x)>1.
解：
函