文档介绍：1第1章矢量分析主要内容: 矢量代数散度及散度定理(重点) 旋度及旋度定理(重点) 梯度亥姆霍兹定理(理解) 常用坐标系(了解) 2 引言标量场与矢量场 1、矢量:(大小+方向,并满足矢量线方程) 2、标量场与矢量场标量场空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化,有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场, 高度场等。矢量场空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化,有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场, 电场、磁场等. A A Ae ?? ??矢量可表示为: 其中为其模值,表征矢量的大小; 为其单位矢量,表征矢量的方向; 也可以表示为各个坐标分量的和: Ae ? A ? x x y y z z x x y y z z A e A e A e A B e B e B e B ? ???????? ????? 3 )( zyxeeee ??????? zzyyxxeAeAeAA ???????4、零矢量:0 起点与终点重合的矢量,长度为 0,方向是任意的。 3、单位矢量: 模为 1的矢量,用表示。矢量 A分解 5、矢量的相等: 每个分量都相等,即?????????? zz yy xxBA BA BABA ?? 4 2、矢量的点积:( 标量积、投影积,做功) 1、矢量的加法:(矢量求和) x x y y z z x x y y z z A e A e A e A B e B e B e B ? ???????? ?????( ) ( ) ( ) x x x y y y z z z A B e A B e A B e A B ? ? ???????? ??已知: 则: 矢量代数 zzyyxxBABABABABA?????? cos ?? 5 3、矢量的叉积:(面积) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z x y z z y y z x x z z x y y x e e e A B A A A B B B e A B A B e A B A B e A B A B ? ?? ?????? ????? ?? zyx zyx BBB AAACBA??????)()()()( )()()( )()()(ABCBA CBACABCBA BACACBCBA???????????????????????????????????????????????4、常用矢量的混合积(体积) (常用恒等式) ? sin BAeBA n?????课堂练****矢量线方程 6直角坐标常用公式(牢记) 课堂练****yxz xzy zyx zzyyxx xzzyyx zzyyxxeee eee eee eeeeee eeeeee eeeeee???????????????????????????????????????????????????0 0 17 矢量场的通量散度矢量场的通量二、矢量场的通量若 S 为闭合曲面( ) s r d ?? ?? A S ? ??( ) S r d ??? ? A S ? ??若矢量场分布于空间中,在空间中存在任意曲面 S,则定义: ( ) A r ??为矢量沿有向曲面 S 的通量。( ) A r ??物理意义:表示穿入和穿出闭合面 S的矢量通量的代数和。一、面元矢量 dS=e n ds 法向矢量 e n有两个要素: { 右手螺旋法则闭合面外法线(鸡蛋壳外表面) 8 通过闭合面 S的通量的物理意义 ------- 根据净通量的大小判断闭合面中源的性质 a) 若,闭合面内有产生矢量线的正源; 0 ?? b) 若,闭合面内有吸收矢量线的负源; 0 ?? c) 若,闭合面无源。 0 ?? a) ?> 0 (有正源) b) ?< 0 (有负源) c) ?= 0 (无源) 9三、矢量场的散度三、矢量场的散度( ( divergence ) ) 1、散度的定义在场空间中任意点 M 处作一个闭合曲面,所围的体积,则定义场矢量在M 点处的散度为: ( ) A r ??V?( ) A r ?? 0 ( ) div ( ) lim sv r d rv ? ????? A S A ? ????通量描述的是一个大范围的积分量,不能说明每一点的源的强弱,将其闭合面收缩,取其