文档介绍:数值分析矩阵分析基础
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§ 向量和矩阵的范数
1.向量的范数
定义1:设X R n,X 表示定义在Rn上的一个实值函数,
称之为X的范数,它具有下列性质:
(3)
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4. 矩阵的条件数
定义5 设矩阵
为非奇异矩阵,则称
为矩阵
的条件数,其中
是矩阵的算子范数。
对矩阵 的任意一个算子范数
有
(2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数;
(3)若 , 则
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注: cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有:
cond (A)2
特别地,若 A 对称,则
cond (A)1
=‖A‖1 ‖ ‖1
cond (A)
=‖A‖ ‖ ‖
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§ 初等矩阵
初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用,本节介绍
一般形式的初等矩阵,它是矩阵计算的基本工具。
初等矩阵
定义6 设向量
,则形如
的矩阵叫做实初等矩阵,其中
是
阶单位矩阵,
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向量
,
为初等下三角阵。
初等下三角阵
具有如下性质:
(1) ;
初等下三角矩阵
定义7 令向量
则称矩阵
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(3) 任何一个单位下三角阵
都可分裂成
因此,对任一非奇异下三角阵
,都可分裂成一个非奇异
对角阵和若干个下三角阵的乘积。
(4)
左乘矩阵
的结果是从
的各行中减去第
行乘一个因子。
初等下三角阵在矩阵的满秩分解、三角分解以及解线性代数方程组的直接解法中起着重要的作用。
(2)
为单位下三角阵 ;
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Householder矩阵
定义8 设向量
,且
,称形如
为Householder矩阵,或称Householder变换、反射矩阵。
要得到Householder矩阵,只要在初等矩阵
中,
Householder矩阵
具有以下性质:
(1) 矩阵
是对称阵,即 ;
(2) 矩阵
是正交矩阵,即
(3)
变换保持向量长度不变,即对任意向量
,
;
,
即可。
取向量
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(4) 设
为以
为法向量过原点的超平面,对任意的非零
向量
,有
与
关于超平面
对称。
对任意的非零向量
,可以适当选择合适的
向量
,满足
,用其构造的
矩阵可将
变换为单位向量
的常数倍,使得
其中,
是实数,并且
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定义9 将
阶单位阵
改变第
行和第
列的四个
元素得到矩阵
Givens旋转矩阵
称为Givens旋转矩阵,或称Givens变换,
为旋转角。
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是一个正交矩阵,对任意向量
,由线性变换
,
其中,
,可得
Hessenberg矩阵
定义10 若实矩阵
的次对角线以下元素均为零,即
时,
,称形如
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的矩阵
为上Hessenberg(海森伯格)阵,或拟上三角阵。
如果次对角线元素
全不为零,则称该矩阵为
不可约的上Hessenberg阵。
对任意矩阵
,总存在正交阵
使得
为上Hessenberg阵。
对角占优阵
定义11 设矩阵
,若存在一个排列阵
,使得
否则称矩阵
是不可约的。
其中
,则称矩阵
是可约的,
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定义12 设矩阵
,若
且至少有一个不等式严格成立,则称矩阵
为弱对角占优阵,
对所有不等式严格成立,则称矩阵
为严格对角占优阵。
(对角优势定理) 若矩阵
为严格对角占优阵,
或者为不可约且弱对角占优阵,则