文档介绍：第一章矢量分析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量散度矢量场的环流旋度亥姆霍兹定理需要掌握的知识要点四个概念:场、梯度、旋度、散度两个公式:高斯公式、斯托克斯公式一个定理:亥姆霍兹定理。其内容是:在有限区域内,任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件唯一确定。要求:全面深刻地领会而非肤浅的认识。场的概念一种物理场是一个物理量在一定空间范围内的分布状况,可以用一个三维函数来描述。物理量的值随空间坐标的变化而变化,还可随时间而变化。例如: ?一个教室中的温度 T(x,y,z) 就是温度场?地球周围的引力 F(x,y,z) 是引力场。?电场 E(x,y,z,t) 、磁场 H(x,y,z,t) 是矢量场。?请再举几个场的例子第一章矢量分析第一节:矢量分析基础一、矢量与矢量场 1、矢量 2、矢量的表示方式 3、矢量的运算 4、标量场与矢量场标量场空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化,有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场, 高度场等。矢量场空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化,有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场, 电场、磁场等. 二、常用坐标系 1、直角坐标系 x y z O P(x 0 ,y 0 ,z 0) x 0 y 0 z 0F ? xe ? ye ? ze ?, , x y z e e e ? ??方向单位矢量: 矢量表示: 0 0 0 x y z x e y e z e ? ?? ?? 2、圆柱坐标系 x y z O P(r 0,ψ 0,z 0) ψ 0 r 0 z 0re ? e ?? ze ?, , r z e e e ?? ??方向单位矢量: 矢量表示: ( ) ( ) ( ) r x z z A r e A r e A r e ? ?? ?? ? ????位置矢量: 0 0 r z r r e z e ? ?? ??位置矢量: 0 0 0 x y z r x e y e z e ? ??? ??? 3、球面坐标系方向单位矢量: 矢量表示: y O z x P(r,θ, φ) φθr r e ??e ??e ?,, r e e e ??? ??( ) ( ) ( ) r r A r e A r e A r e ? ???? ?? ? ???? 4、坐标变换?圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 cos sin sin cos r x y x y z z e e e e e e e e ?? ? ??? ? ????? ? ???????球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin r x y z x y x y z e e e e e e e e e e e ??? ? ?????? ? ???? ?????? ??? ? ?????? ? ??位置矢量: 0r r r e ?? ?第二节矢量场的通量散度一、矢量线(力线) 矢量场的通量二、矢量场的通量?矢量线的疏密表征矢量场的大小; ?矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向; 若 S 为闭合曲面( ) s r d ?? ?? A S ? ??( ) S r d ??? ? A S ? ??若矢量场分布于空间中,在空间中存在任意曲面 S,则定义: ( ) A r ??为矢量沿有向曲面 S 的通量。( ) A r ??物理意义:表示穿入和穿出闭合面 S的矢量通量的代数和。讨论: 1)面元定义; dS ?( ) cos ( ) s A r r ds ?????? 2) 三、矢量场的散度 1、散度的定义 2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性; 3) 通过闭合面 S的通量的物理意义: a) 若,闭合面内有产生矢量线的正源; 0 ?? b) 若,闭合面内有吸收矢量线的负源; 0 ?? c) 若,闭合面无源。 0 ??在场空间中任意点 M 处作一个