文档介绍：2017-2-20 应用统计方法§ 多元正态分布的定义及性质一、标准多元正态分布设随机向量, 独立同分布于,则的密度函数为),,,( 21?? puuu? u puuu,,, 21?)1,0(N ),,,( 21?? puuu? u 2 2 2 1 21 1 1 1 1 ( , , , ) exp( ) (2 ) exp( ) 2 2 2 p p p p i i i i f x x x x x ?????? ???????????? ix pi,,2,1??其中的均值为),,,( 21?? puuu? u0),,,()( 21??? p Eu Eu Eu E? u 2017-2-20 应用统计方法??????????????? 221 2 2212 121 21)()( ppp p puuuuu uuuuu uuuuuE Var ?????? uuEu 协方差为 I??????????????1 1 1? 2017-2-20 应用统计方法二、一般的正态分布)]()(2 1 exp[ )2(),,,( 1 21221?????????????xxxxxf pp??????? ix 其中的均值为),,,( 21?? pxxx? x),,,()( 21?? pE???? x 协方差为???????????????????????????? 22211 22 2222122 112211 211)() )(() )(( ) )(()() )(( ) )(() )(()( pp ppp pp ppxxxxx xxxxx xxxxxE??????????????????????),,,( 21?? pxxx? x 称服从均值为 E(X) ,协方差为?的正态分布。设随机向量,若其的密度函数为),,,( 21?? pxxx? x 2017-2-20 应用统计方法三、一般的正态分布和标准正态分布的关系),,,(),,,()( 2121???? pp Ex Ex Ex E????? x 设,其中是一个阶非退化矩阵, 服从维标准正态分布,则服从维正态分布,且均值向量为 p p??? Au x A ),,,( 21?? puuu? u Au x??? p 2017-2-20 应用统计方法 AA xxEx?????????????????????????????????????? 22211 22 2222122 112211 211)() )(() )(( ) )(()() )(( ) )(() )(()( ) )(()( ppppp pp ppxxxxx xxxxx xxxxxE Var???????????????????????协方差为 2017-2-20 应用统计方法??????AAA Var Var )()(uAx|| )]()(2 1 exp[ )2(),,,( 1221J????????????xxxxxf pp?)]()(2 1 exp[ )2( 1 212?????????????xx p 211)( ??????AAAJxu 2017-2-20 应用统计方法若,则Σ-1存在, 是非退化元正态分布; p rank ?)(A??? Au x p 若,则不存在, 是退化元正态分布,不存在密度函数。 p rank ?)(A1????? Au x p 注: 设随机向量, 是常数向量, 是一个的常数矩阵,则服从正态分布,记为,其中 A ),0(~I qNu ? qp???? Au x),(~?? pNx )(pp????AA 2017-2-20 应用统计方法 011211 1021 11211 110 101????????????????????????????????????????????????211 110 101110 10111 10 01AA?例:设随机向量,, ,则的分布是退化的三元正态分布。),0(~ 2INu Au x????????????11 10 01Ax 2017-2-20 应用统计方法§ (2)多元正态分布的性质二、 x是一个服从 p维正态分布,当且仅当它的任何线性函数服从一元正态分布。),(?? pNxa ?一、多元正态分布的特征函数) exp( )(ttit?????2 1t??三、 X服从维正态分布,则,其中为常数矩阵, 为维的常数向量,则 p b Cx y??Cpr? br),(~CCbCy ???? rN 2017-2-20 应用统计方法?四、设,则的任何子向量也服从多元正态分布,其均值为的相应子向