文档介绍：追击问题本实验的目的是: 建立追击问题的微分方程模型,用 Mathematic a 模拟缉私艇追踪敌艇的实际过程。问题:我缉私艇雷达发现,正东 1 海里处一艘走私船正以常速向北方向?v 逃窜,缉私艇?v2立即以的速度追赶,借助于雷达,缉私艇航行的方向始终对准走私船。试求缉私艇的航行曲线方程,并问走私船航行多远时被我缉私艇追上。一、建立微分方程模型: 首先如图建立坐标系。设缉私艇的航行曲线方程为)(xfy?,在时刻 t 位于( , ) P x y ,则有 x ytvy????1 ?,又tvdxy x?21 0 2????,t消去,得dxyyyx x??????? 0 212 1)1( 。两边对求导 x ,则实际问题化为求解微分方程: 21 (1 ) 1 2 (0) 0, (0) 0 x y y y y ??? ?? ??????? ??。此为可降阶的二阶微分方程,可解得: 缉私艇的航行曲线方程为 3 2)x1(3 1x1y 2 3??????(1x0??)。当1x?时,2 (1)3 y?,故走私船航行 3 2 海里时被缉私艇追上。或者用 mathematica 软件来求解上述微分方程,输入命令: DSolve1xy ''x 1 y'x^2 2,y'0 0, y0 0,yx,x 运行后得到: Solve :: ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. yx 13 22 1x 1xx, yx 13 2 2 1x 1xx 显然第一个解为所求的方程,为了求得当 1x?时函数得值,可由以下命令得到: y 0 v t ( , ) P x y xO x 1 y x_: 13 22 1x 1xx;y1 运行后也可的 2 (1)3 y?,即走私船航行 3 2 海里时被缉私艇追上。二、仿真方法:即模仿真实事件的行为和过程。在这个问题上,就是一步步地以时间间隔为 t?来模拟缉私艇追踪敌艇的实际过程。当0t?时,敌艇在 0 (1, 0) M 处,缉私艇在 0 0 0 ( 0, 0) P x y ? ?处,方向指向敌艇,即 00??。认为缉私挺的运动曲线是由水平方向和垂直方向组合而成。当 t t ??时,敌艇运行到 1 0 (1, ) M v t ?,而缉私艇运行到点 1 1 1 ( , ) P x y ,则 1 0 0 0 1 0 0 0 2 cos 2 sin x x v t y y v t ??? ?????? ????, 方向由 1P 点指向 1M 点, 即 0 1 11 arctan 1 v t y x ?????; 当2 t t ? ?时,敌艇运行到 2 0 (1, 2 ) M v t ?,缉私艇运行到点 2 2 2 ( , ) P x y ,则 1 1 0 1 1 2 0 1 2 cos 2 sin x x v t y y v t ??? ?????? ????