文档介绍：§2 矩阵的运算现在来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系. 下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见,我们取定一个数域, 1设?????????????????? sn ss n n sn ijaaa aaa aaaaA?????? 21 222 21 112 11,?????????????????? sn ss n n sn ijbbb bbb bbbbB?????? 21 222 21 112 11 是两个 ns?矩阵,则矩阵??????????????????????????????? sn sn ssss nn nn sn ij ij sn ijbababa bababa ?????? 2211 2222 22 21 21 1112 12 11 11 称为 A 和B 的和,记为 BAC??. 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加. 当然,相加的矩阵必须要有相同的行数和列数. 由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,所以不难验证,它有结合律: CBACBA?????)()( ; 交换律: ABBA???. 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 snO ,在不致引起含混的时候,可简单地记为 O .显然,对所有的 A ,AOA??. 矩阵??????????????????????? sn ss n naaa aaa aaa?????? 21 222 21 112 11 称为矩阵 A 的负矩阵,记为 A?.显然有 OAA???)( 矩阵的减法定义为)(BABA????例如在§1我们看到,某一种物资如果有 s 个产地,n 个销地,那么一个调动方案就可表示为一个 ns?矩阵. 矩阵中的元素 ija 表示由产地 iA 要运到销地 jB 的这个物资的数量,比如说吨数. 如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地,那么,这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵. 于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个 ns?,这个矩阵就等于上面两个矩阵的和. 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质,很容易看出: 秩( A +B )≤秩( A )+秩( B ) ,先看一个引出矩阵问题. 设 4321,,,xxxx 和 321,,yyy 是两组变量,它们之间的关系为???????????????????. , , , 343 242 141 4 333 232 131 3 323 222 121 2 313 212 1 11 1yayayax yayayax yayayax yayayax (1) 又如 21,zz 是第三组变量,它们与 321,,yyy 的关系为???????????. , , 232 131 3 222 121 2 212 1 11 1zbzby zbzby zbzby (2) 由(1) 与(2) 不难看出 4321,,,xxxx 与 21,zz 的关系: )4,3,2,1()( )( 21 31 21 31 31 21 31 21 31????????????????????????izbazba zbazbayax jjkjk kj ikj kj ik kj j kj ik kj j kj ik k