文档介绍：48****题十七特征值与特征向量相似矩阵一、填空题: 阶方阵 A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关;若n???,,, 21?是n 阶方阵 A 的n 个特征值,则??? ni i1??? ni iia 1 ,??? ni i1?A 。 2. 已知三阶矩阵 A 的三个特征值分别为 3,2,1 ,则?A 6,??1*)2 1(A 2/9 。 3 .设 A 为n 阶方阵, 0? Ax 有非零解,则 A 必有一特征值为 0。 4. 假设 n 阶矩阵 A 的任意一行中 n 个元素之和都为 a ,则A 有一特征值为 a , 对应于此特征值的一个特征向量是?? T1,,1,1?。 5 .若?是可逆阵 A 的一个特征值,则*A 有一特征值为? A 。 6 .已知向量 Tk)1,,1(??是矩阵???????????122 212 221A 的一个特征向量,则?k -2,1。二、求下列矩阵的特征值和特征向量: 1.?????????????122 113 221 2.??????????324 202 423 解:0)3 )(3( 2????????AE , 解:,0)8()1( 2????????AE 因此, 3,3 321???????。因此,1,8 321???????当3 1??时,解方程组 0)3(??XAE ,当8 1??时,解方程组,0)8(??XAE ,000 110 101422 143 2243???????????????????????????????AE???????????????????????????????000 2/110 101524 282 4258AE 故属于 3 1??的特征向量为??)0(,1,1,1?kk T 。故属于 8 1??的特征向量为?? Tk2,1,2 。当3 32?????时, 解方程组 0)3(???XAE ,当1 32?????时, 解方程组,0)(???XAE ,000 210 101222 123 2223??????????????????????????????????AE,000 000 212424 212 424?????????????????????????????????AE 故属于 3 32?????的特征向量为??)0(,1,2,1??kk T 。故属于 1 32?????的特征向量为 TTkk)1,2,0()0,2,1( 21???, 49 其中 21,kk 不全为零。三、设方阵?????????????????124 22 421xA 与????????????4 5yB 相似,求 yx, 。解:因为 A 与B 相似,所以 BAB TrA Tr??),()( ,从而, yBxAyx20 20 15 ,12?????????,即??????????yx yx20 20 15 12 ,所以?????5 4y x 。四、设三阶方阵 A 的特征值为 1 1??,0 2??,1 3???, 对应的特征向量依次为???????????2 2 1 1?, ????????????1 2 2 2?,?????????????2 1 2 3?,求 A 。解:令???????????????212 122 221),,( 321???P ,则???????????????212 122 2219 1 1P , 所以,???????????????????????????????????????????????????212 122 221100 000 001212 122 2219 1100 000 001 1PPA =?????????????????03 23 2 3 23 10 3 203 1 。五、设 21,??是n 阶阵 A 的特征值, 21???,21,??分别是 A 的属于 21,??的特征向量, 证明: 21???不是 A 的特征向量。证明:用反证法。若 21???是A 的属于某特征值?的特征向量,则 50 )()( 2121????????A ,(1) 由于 21,??分别是 A 的属于 21,??的特征向量,所以 222111,????????AA ,(2) 由( 1)、(2 )可得: 221121)(??????????, 所以??????????? 2211)()( , 因为 21???,所以 21,??线性无关,因此????? 21 。矛盾。六、设 BA, 是n 阶方阵,证明: AB 与 BA 有相同的特征值。证明:下证当?是 AB 的特征值时也是 BA 的特征值,反之亦然。当0??时,?????????????????????E BEEA BE AB EA E AB E0 0???=EA BA EEA BEE BEEA BE?????