文档介绍：实用标准文案
基本不等式及应用
一、考纲要求：
了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大 ( 小) 值问题．
3．了解证明不等式的基本方法——综合法．
二、基本不等式
值域 ) 时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件
3
的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数 y＝ 1＋ 2x＋ x(x<0) 有最大值 1－ 2 6而不是有最小值 1＋
6.
当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．
课堂纠错补练：
若 0<x≤ π，则 f(x)
＝sinx ＋
4 的最小值为 ________．
2
sinx
π
时， t ∈ (0,1]
4
单调递减，∴ t ＝ 1 时 y
＝ 5.
解析： 令 sinx ＝ t,0<t ≤ 2
，此时 y＝ t ＋ t 在 (0,1]
min
答案： 5
考点 1 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不
等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果” ．2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应
用基本不等式的变形形式．
例 1：（ 1）已知 a,b, c 均为正数，求证：
2
2
2
2
2
2
(
)
a b
b c
c a
b c
abc a
（ 2）已知 a,b, c 为不全相等的正数，求证： ab(a b) bc(b c) ac(c a) 6abc
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实用标准文案
1
3）已知 a>0， b>0， a＋ b＝1，求证： a＋ b≥ 4.
【证明】 (1) ∵ a>0， b>0， a＋ b＝ 1，
1 1 a＋ b a＋ b b a
a＋b＝ a ＋ b ＝ 2＋a＋ b
b
a
1
≥2＋2
· ＝ 4( 当且仅当
a＝b＝ 时等号成立 ) ．
a
b
2
1 1
a＋b≥ 4. ∴原不等式成立．
练****已知 a、 b、 c 为正实数，且 a＋ b＋ c＝ 1，求证： (1－ 1)( 1－1)( 1－ 1)≥ 8.
a b c
证明： ∵ a、 b、c 均为正实数，且 a＋ b＋ c＝1，
1 1 1
( a－ 1)( b－ 1)( c－ 1)
＝
1－a
1－ b
1－c
abc
＝
b＋c
a＋ c
a＋b
≥ 2 bc · 2 ac· 2 ab＝ 8.
abc
abc
1
当且仅当 a＝ b＝ c＝ 3时取等号．
考点 2 利用基本不等式求最值
合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的