文档介绍：-
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**财经大学2009-2010学年第二学记号:令M代表泊松输入或负指数分布效劳,于是泊松输入、负指数分布效劳、N个效劳台的排队系统写成M/ M/ N。
单效劳窗等待质排队模型〔M/ M/ 1)
排队模型M/ M/ 1表示顾客源为有限的，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数的泊松分布；单效劳台，队长无限，先到先效劳；各顾客的效劳时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。
确定系统在任意时刻的状态为的概率
顾客的到达规律服从参数为的泊松分布，效劳时间服从参数为的负指数分布；假设有个顾客，只有一个承受效劳，其余的顾客排队等待，有无限个位置可排队，于是在时间间隔内有：
有一个顾客到达的概率为.
没有一个顾客到达的概率为.
有一个顾客被效劳完的概率为.
没有一个顾客被效劳完的概率为.
多余一个顾客到达或效劳完离去的概率为。
则在时刻系统中有个顾客〔即状态为〕的概率，可能的情况见表一。
表一状态的概率
情况
时刻的顾客数
在区间
在时刻
的顾客数
到达
离去
〔A〕
〔B〕
〔C〕
(D)
×
×
√
√
×
√
×
√
这是一个生灭过程，四种情况是相互独立的事件，则有
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，
整理得，
并令，则得
，
当时，类似地，可有
，
为求稳态解，假设当时，的极限存在，即有
，
则
，
，
这是关于的差分方程，也反映了系统状态的转移关系，即每一状态都是平衡的，见图一。求得，递推可得.
图一 M/ M/ 1的状态转移关系图
令，称为效劳强度。即为平均到达率与平均效劳率之比。由概率的性质：，即，于是
就是所求的系统状态为的概率。
系统的运行指标
〔1〕队长〔平均顾客数〕：因为系统的状态为，由期望的定义得
.
队列长〔等待的平均顾客数〕：
，
系统中顾客的逗留时间：系统中的一个顾客的逗留时间，服从于参数为的负指数分布，分布函数和分布密度分布为
，
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所以有
.
系统中顾客的等待时间：
，
其中一个顾客平均效劳时间为.
系统内多余个顾客的概率为
.
以下关系式又称为运行指标的Little公式：
.
多效劳窗等待质排队模型〔M/ M/ N)
上面分析的是只有一个窗口效劳的情形，对于我们来讲高校食堂的效劳窗口大体是这样的，见图二：
图二高校食堂窗口设置图
这个系统可看成n个M/ M/ 1型